Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,∠ABC的平分线交AC于点D,AE⊥BD,垂足为E.。求证：AE=(√2-1)BE

不用函数证的方法有吗？

Answer 1

证明：∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC
∴△ABC中是等腰直角三角形，∠ABC=45°
∵∠ABC的平分线交AC于点D
∴∠ABE=45°/2
在直角三角形AEB中
tan∠ABE=AE/EB
∴AE=EB*tan∠ABE
∵tan∠ABE=tan45°/2
=√[(1-COS45°)/(1+COS45°)] (√表示平方根)
=√[(1-√/2/2)/(1+√/2/2)]
=√[(2-√/2)/(2+√/2)]
=(2-√/2)/√(4-2)
=(2-√/2)/√2
=√2(2-√/2)/2
=(2√2-2)/2
=√2-1
∴AE=EB*tan∠ABE
=EB*(√2-1)
=(√2-1)BE

追问

不用函数证的方法有吗？

追答

解：设BC=a
∵三角形ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC=a
在等腰直角三角形ABC中，由勾股定理，得
AB^2=AC^2+BC^2
=a^2+a^2
=2a^2
从而 AB=a√2
设CD=x，由AD=AC-CD=a-x
∵BD是∠ABC的平分线
∴AD/CD=AB/BC(三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例)
即 (a-x)/x=a√2/a
a-x=x√2
x(1+√2)=a
∴x=a/(1+√2)
=a(√2-1)
从而x/a=√2-1
∴DC/BC=x/a=√2-1 ①
在直角三角形AEB与直角三角形BCD中
∠EAB=∠AEB-∠ABE=90°-45°/2=135°/2
∠CDB=∠DCB-∠DBC=90°-45°/2=135°/2
从而∠EAB=∠CDB
∴直角三角形AEB∽直角三角形BCD(两个角对应相等的两个三角形相似)
从而 AE/EB=DC/BC(相似三角形的对应边成比例) ②
由①② 得 AE/EB=DC/BC=√2-1
∴AE=(√2-1)BE