Question

已知点AB的坐标分别是(0,-1),(0,1),直线AM,BM相交于点M,且她们的斜率之积为-1/2 (1)求点M的轨迹C的方程

(2)过D(2,0)的直线L与轨迹C有两个不同的交点时,求L的斜率的取值范围
(3)若过点D(2,0)的直线L与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在D,F之间),试求:三角形ODE与三角形ODF面积之比的取值范围(O为坐标原点)

Answer 1

2、设过D（2,0）的直线为y=a(x-2),代入到轨迹C的方程中有x^2/2+a^2*(x-2)^2=1，即
(a^2+1/2)*x^2-4a^2*x+(4a^2-1)=0,有两个不同交点即方程有两个不同实根，即16a^4-4*(4a^2-1)(a^2+1/2)>0,解得 -√2/2 <a<√2/2,斜率范围是(-√2/2 ,√2/2)
3、设E(x1,y1),F(x2,y2)(x1>x2),△ODE与△ODF公共底边OD，故面积比值即y1/y2=(x1-2)/(x2-2)
由第二问可知 x1-2、 x2-2分别是(a^2+1/2)*(x+2)^2-4a^2*(x+2)+(4a^2-1)=0的两实根，整理得
(a^2+1/2)*x^2+2*x+1=0,则y1/y2=(x1-2)/(x2-2)=(-2+√(2-4a^2))/(-2-√(2-4a^2))=-1+4/(2+√(2-4a^2))<1,即面积之比范围为（0,1）