Question

已知A,B为锐角。且sinA/cosB+sinB/cosA=2。求证：A+B=直角。

设：X=A+B,Y=A-B,∴（0<X<π，-π/2<Y<π/2)
先通分化简：sinAcosA+sinBcosB=2cosAcosB
∴sin2A+sin2B=4cosAcosB
∴sin(X+Y)+sin(X-Y)=2(cosX+cosY)
∴2sinXcosY=2(cosX+cosY)
∴若X=A+B≠π/2
那么，1-sinX≠0
∴cosY=cosX/(1-sinX)
∴由Y的范围得到：0<cosX/(1-sinX)<1
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾（∵(cosX+sinX)^2=1+2sinXcosX>1,X∈(0，π)时sinX>0,又有上面得到：cosX>0)
∴X=A+B=π/2

你的方法中1-sinX≠0，为什么不是sinx-1=0呢？
后面的就完全看不懂：
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾（∵(cosX+sinX)^2=1+2sinXcosX>1,X∈(0，π)时sinX>0,又有上面得到：cosX>0)
∴X=A+B=π/2
请说明一下，谢谢
请问哪里矛盾了？

Answer 1

若X=A+B≠π/2
那么，1-sinX≠0
∴cosY=cosX/(1-sinX)
∴由Y的范围得到：0<cosX/(1-sinX)<1
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾。
这部分是反证法。

Answer 2

若X=A+B≠π/2
那么，1-sinX≠0
∴cosY=cosX/(1-sinX)
∴由Y的范围得到：0<cosX/(1-sinX)<1
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾。
这部分是反证法。
回答者： hbc3193 | 十一级 | 2011-2-17 16:16

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Answer 3

从上面  那一步 根本得不到  下面这步，，，得到的是  cosY=cosX/(sinX-1),,,,,,您再看看啊。。。

所以 就得不到 cosX+sinY小于1了，得到的是cosX+1小于sinX了。  然后我就不会做了。。。

Answer 4

本题用的是反证法，题目要求证明A+B=直角，则假设A+B≠直角，即X=A+B≠π/2
∵X≠π/2，
∴sinX≠1
∴1-sinX≠0

cosX>0,且cosX+sinX<1
设M=cosX+sinX，则M<1,那么M^2<1即（cosX+sinX）^2<1
又因为(cosX+sinX)^2=1+2sinXcosX>1
所以 矛盾

Answer 5

我有个方法，但是复杂了一点：
设：X=A+B,Y=A-B,∴（0<X<π，-π/2<Y<π/2)
先通分化简：sinAcosA+sinBcosB=2cosAcosB
∴sin2A+sin2B=4cosAcosB
∴sin(X+Y)+sin(X-Y)=2(cosX+cosY)
∴2sinXcosY=2(cosX+cosY)
∴若X=A+B≠π/2
那么，1-sinX≠0
∴cosY=cosX/(1-sinX)
∴由Y的范围得到：0<cosX/(1-sinX)<1
∴cosX>0,且cosX+sinX<1
矛盾（∵(cosX+sinX)^2=1+2sinXcosX>1,X∈(0，π)时sinX>0,又有上面得到：cosX>0)
∴X=A+B=π/2