Question

高中三角问题

已知A、B、C是锐角三角形ABC的内角，则关于不等式sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC的叙述正确的是（）
A、一定成立
B、一定不成立
C、当且仅当其中一个角等于45度时成立
D、当且仅当其中一个角等于60度时成立

Answer 1

A
在锐角三角形ABC中，A+B>π/2,
A>π/2-B,
sinA>sin(π/2-B)=cosB,
同理，sinB>cosC,sinC>cosA,
相加得sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

Answer 2

已知A、B、C是锐角三角形ABC的内角，则关于不等式sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
的叙述正确的是（）
A、一定成立； B、一定不成立； C、当且仅当其中一个角等于45度时成立；
D、当且仅当其中一个角等于60度时成立。
解：选A.(一定成立)。
∵在锐角三角形中，必有A, B∈(0, π/2),且A+B>π/2(若A+B≤π/2,则C≥π/2,从而变成直角
三角形或钝角三角形。）
∴0<π/2-B<A<π/2, ∴cos(π/2-B)>cosA, 即sinB>cosA.
同理sinC>cosB, sinA>cosC.
∴sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

Answer 3

A+B+C=180，又C<90，所以A+B=180-C>90，即A>90-B,所以sinA>sin（90-B）=cosB,
同理得证。选项A

Answer 4

A