Question

如图，直线y=-4/3x+4和x轴、y轴的交点分别为b,c，点a的坐标是(-2,0)

动点M从点A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点达到终点时，它们都停止运动。设点M运动t(s)时，⊿MON的面积为S.
①求S与t的函数关系
②当点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在，说明理由；
③在运动过程中，当⊿MON为直角三角形时，求t的值。

Answer 1

（1）求出x=0时y的值，求出y=0时x的值，求出B、C的坐标，根据勾股定理求出BC、AC，求出BA，即可得出答案；
（2）①过N作NH⊥x轴于H，推出当t=5秒时，同时到达终点，根据三角形的面积公式得出△MON的面积是S=12×OM×NH，代入求出即可；
②根据题意得出|t-2|×0.4t=4，根据t-2＞0，得出方程（t-2）×0.4t=4，求出方程的解即可；
③求出cos∠B=0.6，分为三种情况：I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，求出t=5；II、当∠NMO=90°时，得出t-2=3-0.6t，求出t，III、∠MNO不可能是90°，即可得出答案．解答：（1）证明：y=-43x+4，
∵当x=0时，y=4；
当y=0时，x=3，
∴B（3，0），C（0，4），
∵A（-2，0），
由勾股定理得：BC=32+42=5，
∵AB=3-（-2）=5，
∴AB=BC=5，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）解：①∵C（0，4），B（3，0），BC=5，
∴sin∠B=OCBC=45=0.8．
过N作NH⊥x轴于H．
∵点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，
又∵AB=BC=5，
∴当t=5秒时，同时到达终点，
∴△MON的面积是S=12×OM×NH，
∴S=12|t-2|×0.8t，
∴S=|t-2|×0.4t；

②点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形．理由如下：
∵C（0，4），B（3，0），BC=5，
∴sin∠B=OCBC=45=0.8，
根据题意得：∵S=4，
∴|t-2|×0.4t=4，
∵点M在线段OB上运动，OA=2，
∴t-2＞0，
即（t-2）×0.4t=4，
即t2-2t-10=0，
解得：t=1+11，t=1-11（舍去），
∴点M在线段OB上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t值是（1+11）秒．

③∵C（0，4）B（3，0）BC=5，
∴cos∠B=OBBC=35=0.6．
分为三种情况：
I、当∠NOM=90°时，N在y轴上，即此时t=5；
II、当∠NMO=90°时，M、N的横坐标相等，即t-2=3-0.6t，解得：t=3.125，
III、∠MNO不可能是90°，
即在运动过程中，当△MON为直角三角形时，t的值是5秒或3.125秒．