Question

一道初二的数学题：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于

点G。AD与EF垂直吗？证明你的结论。

（请把过程写的详细一点）（带上解释）
（别跟我说网上有，我就是看不懂网上的答案才来问的）

Answer 1

                                                                                           

利用角平分线定理：在角平分线上的任意一点到这个角的两条边的距离相等  可得出前三行证明

第4行到第7行利用三角形的全等（Sh)  得出，8,9行是利用相似三角形全等的性质得出  

最后利用垂直平分线的判定  ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

可得出点A,D在线段EF的垂直平分线上，即AD是EF的垂直平分线

Answer 2

因为AD平分角EAF，DE垂直AB,DF垂直AC,所以角EAD等于角DAF,角DEA等于角DFA等于90°，DE等于DF,所以三角形AED全等于三角形AFD。所以AE=AF,因为AG=AG,角EAG=角FAG,所以三角形EAG全等于三角形FAG,所以角AGE=角AGF，因为角AGE+角AGF=180°，所以角AGE=90°，所以AD垂直EF.

Answer 3

解：AD⊥EF。
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠DAB=∠DAC，AD=AD，
∴ΔADE≌ΔADF，
∴AE=AF，DE=DF，
∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∵A、D不重合，
∴直线AD就是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF。

追问

你能再详细解释一下：∴A、D都在线段EF的垂直平分线上，
∵A、D不重合，
∴直线AD就是EF的垂直平分线，
∴AD⊥EF。
这些步骤吗？

追答

这是必要的说明。

要不然可用等腰三角形三线合一。

∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠DAB=∠DAC，AD=AD，
∴ΔADE≌ΔADF，
∴AE=AF，

又AD平分∠BAC，

∴AD⊥EF。

Answer 4

DE⊥AB，DF⊥AC
所以∠DEA=∠DFA
AD是△ABC的角平分线
所以∠EAD=∠FAD
线AD为共用边
所以三角形DEA和三角形DAF是全等的
线AE=线AF
所以三角形AEF为等腰三角形

线AG为角∠EAF的角平分线
所以AD与EF

Answer 5

∵∠DAE＝∠DAF、∠AED＝∠AFD、AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF。
由∠GAE＝∠GAF、AE＝AF，得：AG⊥EF，∴AD⊥EF。

追问

你是怎么由∠GAE＝∠GAF、AE＝AF，得AG⊥EF的？

追答

其实AE＝AF，∠GEA＝∠GFA，∠AGE＝∠AGF=90
你想啊，平角分成两个相等的角，每个一定是90度咯