Question

如何证明arctanx与x是等价无穷小，当x趋于0时

Answer 1

证明如下：

证明令arctanx=t

x=tant

则lim (t/tant)

=t/(sint/cost)

=tcost/sint

=cost=1

∴等价；

极限的由来

与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的“不断靠近”的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对’无限‘的恐惧”，他们避免明显地人为“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。

到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。

Answer 2

证明：

lim<x→0>arctanx/x (0/0)

= lim<x→0>[1/(1+x^2)]/1 

= 1

arctanx 与 x 是等价无穷小 。

扩展资料：

常用等价无穷小：

1、e^x-1～x (x→0)

2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)

3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)

4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)

5、sinx~x (x→0)

6、tanx~x (x→0)

7、arcsinx~x (x→0)

8、arctanx~x (x→0)

9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)

10、a^x-1~xlna (x→0)

11、e^x-1~x (x→0)

12、ln(1+x)~x (x→0)

13、(1+Bx)^a-1~aBx (x→0)

14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)

15、loga(1+x)~x/lna(x→0)

Answer 3

解答
证明令arctanx=t
x=tant
则lim (t/tant)
=t/(sint/cost)
=tcost/sint
=cost=1
∴等价

追问

x=tant怎么换算的，是有公式吗，还有cost怎么是1，t的取值也不确定

追答

因为x趋于0的亲

当tant=x
时，用x表示t就是反函数arctanx
余弦，正弦也是一样
两个重要极限lim(x-->0)sinx/x=1
cosx=1
等价

追问

嗷嗷知道了谢谢