Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C=30°，求证：

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；（2）若BE= 3 ，BD=1，求△DEC外接圆的直径．

Answer 1

（1）证明：∵DE垂直平分AC， ∴∠DEC=90°，AE=CE， ∴DC为△DEC外接圆的直径， 取DC的中点O，连结OE，如图， ∵∠ABC=90°， ∴BE为Rt△ABC斜边上的中线， ∴EB=EC， ∵∠C=30°， ∴∠EBC=30°，∠EOD=2∠C=60°， ∴∠BEO=90°， ∴OE⊥BE， 而OE为⊙O的半径， ∴BE是△DEC外接圆的切线； （2）∵BE为Rt△ABC斜边上的中线， ∴AE=EC=BE= 3 ， ∴AC=2 3 ， ∵∠ECD=∠BCA， ∴Rt△CED ∽ Rt△CBA， ∴ CE CB = CD CA ， 而CB=CD+BD=CD+1， ∴ 3 CD+1 = CD 2 3 ， 解得CD=2或CD=-3（舍去）， ∴△DEC外接圆的直径为2．