Question

如图，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，-2），且∠ACB

如图，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C（0，-2），且∠ACB=90度．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求点D和点E的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使以点P，B，D为顶点的三角形与三角形AEB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在直角△ABC中，
∵CO⊥AB
∴OC²=OA．OB
∴2²=1×m即m=4
∴B（4，0）．
把A（-1，0）B（4，0）分别代入y=ax²+bx-2，
并解方程组得a=

1

2

，b=-

3

2

，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）把D（1，n）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得n=-3，
∴D（1，-3）
解方程组

y＝x+1 y＝ 1 2 x2? 3 2 x?2

，
得

x1＝6 y1＝7

x2＝?1 y2＝0

，
∴E（6，7）．

（3）作EH⊥x轴于点H，则EH=AH=7，
∴∠EAB=45°
由勾股定理得：BE=

53

，AE=7

2

，
作DM⊥x轴于点M，则DM=BM=3，
∴∠DBM=45°由勾股定理得BD=3

2

．
假设在x轴上存在点P满足条件，
∵∠EAB=∠DBP=45°，
∴

EA

DB

＝

AB

PB

或

EA

PB

＝

AB

DB

，
即

7 2

3 2

＝

5

PB

或

7 2

PB

＝

5

3 2

，
∴PB=

15

7

或PB=

42

5

，OP=4-

15

7

=

13

7

或OP=4-

42

5

=-

22

5

．
∴在x轴上存在点P₁（

13

7

，0），P₂（-

22

5

，0）满足条件．