Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，且函数g（x）=12x2+nx+mf'（x）（m，n∈R） 当且仅当在x=1处取得极值，其中f′（x）为f（x）的导函数，求m 的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=

a(1?x)

x

（x＞0），
当a＞0时，令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1，
故函数f（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
则f′（2）=1，即a=-2；                     
∴g（x）=

1

2

x²+nx+m（2-

2

x

），
∴g′（x）=x+n+

2m

x2

=

x3+nx2+2m

x2

∵g（x）在x=1处有极值，
故g′（1）=0，
从而可得n=-1-2m，
则g′（x）=

x3+nx2+2m

x2

=

(x?1)(x2?2mx?2m)

x2

又∵g（x）仅在x=1处有极值，
∴x²-2mx-2m≥0在（0，+∞）上恒成立，
当m＞0时，由-2m＜0，
即?x₀∈（0，+∞），
使得x02-2mx₀-2m＜0，
∴m＞0不成立，
故m≤0，
又m≤0且x∈（0，+∞）时，x²-2mx-2m≥0恒成立，
∴m≤0；