Question

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交

如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．（1）若BFFC＝13，求DGGF的值；（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．

Answer 1

（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴

AM

BC

＝

AE

EB

，且

DG

GF

＝

DM

CF

∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴

DG

GF

＝

6

3

＝2．

（2）AG∥DC，且

AG

DC

＝

2

3

．
证明：∵AD∥BC，
∴

MG

GC

＝

DG

GF

＝

2

1

，
∵

MA

AD

＝

4a

2a

＝

2

1

，
∴

MG

GC

＝

MA

AD

，
∴AG∥DC．
∴

AG

DC

＝

MA

MD

＝

2

3

．

（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由

AG

DC

＝

MA

MD

得

AG

3

＝

4

6

，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴

AG

AD

＝

DC

CF

，即

2

2

＝

3

CF

，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则

AB

BT

＝

FC

CD

，由AD∥BC得

AD

FT

＝

DG

GF

＝

DM

CF

，
设BF=x，可得FT=

4?x

3

，
∴

3

x+ 4?x 3

＝

4?x

3

，
整理得：2x²-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．