如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交
如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．（1）若BFFC＝13，求DGGF的值；...
如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，点E为边AB中点，点F是边BC上一动点，线段CE与线段DF交于点G．（1）若BFFC＝13，求DGGF的值；（2）连接AG，在（1）的条件下，写出线段AG和线段DC的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）连接AG，若AD=2，AB=3，且△ADG与△CDF相似，求BF的长．
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（1）∵BF：FC=1：3，∴设BF=k，
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，
∵AD∥BC，
∴
＝
，且
＝
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴
＝
＝2．
（2）AG∥DC，且
＝
．
证明：∵AD∥BC，
∴
＝
＝
，
∵
＝
＝
，
∴
＝
，
∴AG∥DC．
∴
＝
＝
．
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由
＝
得
＝
，
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴
＝
，即
＝
，
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则
＝
，由AD∥BC得
＝
＝
，
设BF=x，可得FT=
，
∴
＝
，
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．
则FC=3k，BC=4k，∵AD：BC=1：2，∴AD=2k，
如图：延长CE交DA的延长线于点M，∵AD∥BC，
∴
| AM |
| BC |
| AE |
| EB |
| DG |
| GF |
| DM |
| CF |
∵点E为边AB中点，
∴AM=BC=4k，
∴DM=DA+AM=2k+4k=6k，
∴
| DG |
| GF |
| 6 |
| 3 |
（2）AG∥DC，且
| AG |
| DC |
| 2 |
| 3 |
证明：∵AD∥BC，
∴
| MG |
| GC |
| DG |
| GF |
| 2 |
| 1 |
∵
| MA |
| AD |
| 4a |
| 2a |
| 2 |
| 1 |
∴
| MG |
| GC |
| MA |
| AD |
∴AG∥DC．
∴
| AG |
| DC |
| MA |
| MD |
| 2 |
| 3 |
（3）∵ABCD是等腰梯形，AD=2，AD：BC=1：2，
∴BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠DFC，
∵△ADG∽△CDF，
∴∠AGD=∠FDC或∠DAG=∠FDC．
情况1，当∠AGD=∠FDC时，有AG∥DC，延长CE交DA的延长线于点M，可得AM=4，
由
| AG |
| DC |
| MA |
| MD |
| AG |
| 3 |
| 4 |
| 6 |
∴AG=2
∵△ADG与△CDF相似，且∠AGD=∠FDC，
∴
| AG |
| AD |
| DC |
| CF |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| CF |
∴CF=3
∴BF=1．
情况2，当∠DAG=∠FDC时，延长AG交BC于点T，可得△ABT∽△FCD，
则
| AB |
| BT |
| FC |
| CD |
| AD |
| FT |
| DG |
| GF |
| DM |
| CF |
设BF=x，可得FT=
| 4?x |
| 3 |
∴
| 3 | ||
x+
|
| 4?x |
| 3 |
整理得：2x2-4x+11=0，
∵△=16-88＜0，
∴无实数根；
∴BF=1．
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