Question

（本题10分）已知 AB 为⊙ O 的直径， PA 、 PC 是⊙ O 的切线， A 、 C 为切点，∠ BAC ＝30°．①求∠

（本题10分）已知 AB 为⊙ O 的直径， PA 、 PC 是⊙ O 的切线， A 、 C 为切点，∠ BAC ＝30°．①求∠ P 的度数；②若 AB ＝2，求 PA 的长．

Answer 1

①∠P=60°；(5分)  ②PA= ．(5分)

分析： （Ⅰ）根据切线的性质及切线长定理可证明△PAC为等边三角形，则∠P的大小可求； （Ⅱ）由（Ⅰ）知PA=PC，在Rt△ACB中，利用30°的特殊角度可求得AC的长。 （Ⅰ）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径， ∴PA⊥AB， ∴∠BAP=90°； ∵∠BAC=30°， ∴∠CAP=90°-∠BAC=60°． 又∵PA、PC切⊙O于点A、C， ∴PA=PC， ∴△PAC为等边三角形， ∴∠P=60°。 （Ⅱ）如图， 连接BC，则∠ACB=90°． 在Rt△ACB中，AB=2，∠BAC=30°， ∵cos∠BAC=AC/AB， ∴AC=AB?cos∠BAC=2cos30°= ． ∵△PAC为等边三角形， ∴PA=AC， ∴PA= 。 点评：本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长。