Question

已知：△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F.

已知：△ABC是边长为4的等边三角形,点O在边AB上,⊙O过点B且分别与边AB,BC相交于点D,E,EF⊥AC,垂足为F. （1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）当直线DF与⊙O相切时,求⊙O的半径.

Answer 1

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是 .

试题分析：（1）连接OE，得到∠OEB =60°,从而OE∥AC.，根据平行线的性质即可得到直线EF是⊙O的切线； （2）连接DF,DE.构造直角三角形，解直角三角形即可。 试题解析：（1）连接OE ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=∠C=60°. ∵OB="OE," ∴∠OEB=∠C =60°, ∴OE∥AC. ∵EF⊥AC, ∴∠EFC=90°. ∴∠OEF=∠EFC=90°. ∴OE⊥EF, ∵⊙O与BC边相交于点E, ∴E点在圆上. ∴EF是⊙O的切线； (2)连接DF,DE. ∵DF是⊙O的切线, ∴∠ADF=∠BDF=90° 设⊙O的半径为r,则BD=2r, ∵AB=4, ∴AD=4-2r, ∵BD=2r,∠B=60°, ∴DE= r, ∵∠BDE=30°,∠BDF="90°." ∴∠EDF=60°, ∵DF、EF分别是⊙O的切线, ∴DF=EF=DE= r, 在Rt△ADF中, ∵∠A=60°, ∴tan∠DFA=   解得 . ∴⊙O的半径是