Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率 e= 3 5 ．（Ⅰ）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，短轴的一个端点为B（0，4），离心率 e= 3 5 ．（Ⅰ） 求椭圆C的方程；（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在椭圆上求一点Q使△OPQ的面积最大．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可知：椭圆C的焦点在x轴上，b=4，可设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 4 2 =1 ，    又离心率 e= c a = 3 5 ，及a 2 =4 2 +c 2 ，解得 a=5 c=3 ， ∴椭圆的方程为 x 2 25 + y 2 16 =1 ． （Ⅱ）∵ k OP = 2 2 =1 ，∴可设与直线OP平行且与椭圆相切的直线方程为y=x+t． 联立 y=x+t x 2 25 + y 2 16 =1 ，消去y得到关于x的方程41x 2 +50tx+25t 2 -400=0，（*） ∴△=0，即2500t 2 -4×41×（25t 2 -400）=0，化为  t 2 =41，解得 t=± 41 ． ∴切线方程为 y=x± 41 ． 把 t=± 41 代入（*）解得x= ± 25 41 41 ，代入y=x+t求得Q ( 25 41 41 ，- 16 41 41 ) ，或 (- 25 41 41 ， 16 41 41 ) ． 上面这两个点的坐标都满足是得△OPQ的面积最大．