Question

如图，已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。

如图，已知等边三角形ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F。（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求BH的长。（结果保留根号）

Answer 1

解：(1)EF是⊙O的切线。连接OE         ∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°         ∵OE=OC， ∴△OCE是等边三角形，∴∠EOC=∠B=60°，∴OE∥AB        ∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，∴EF是⊙O得切线        (2)∵OE∥AB，∴OE是中位线        ∵AC=8，∴AE=CE=4        ∵∠A=60°，EF⊥AB， ∴∠AEF=30°，∴AF=2，∴BF=6        ∵FH⊥BC，∠B=60°，∴∠BFH=30°，∴BH=3