Question

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，

如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=12秒时，则OP=______，S△ABP=334334；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ?BP=3．

Answer 1

解答：（1）解：当t=

1

2

秒时，OP=2t=2×

1

2

=1．
如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．

在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
∴S_△ABP=

1

2

AB?PD=

1

2

×（2+1）×

3

2

=

3 3

4

．

（2）解：当△ABP是直角三角形时，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，
∴∠A≠90°，故此种情形不存在；
②若∠B=90°，如答图2所示：

∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；
③若∠APB=90°，如答图3所示：

过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP?sin30°=t，PD=OP?sin60°=

3

t，
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA²+PB²=AB²
∴（AD²+PD²）+（BD²+PD²）=AB²，
即[（2+t）²+（

3

t）²]+[（1-t）²+（

3

t）²]=3²
解方程得：t=

?1+ 33

8

或t=

?1? 33

8

（负值舍去），∴t=

?1+ 33

8

．
综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=

?1+ 33

8

．

（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，
则有

BE

PE

＝

OB

OA

＝

1

2

，∴PE=

2

3

PB．

∵AP=AB，∴∠APB=∠B，
∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，
∴

AQ

OE

＝

OA

PE

，即

AQ

1

＝

2

2 3 PB

，
化简得：AQ?PB=3．