Question

一些高中数学题

1.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程是什么？
2.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为多少？
3.已知抛物线C：y^2=4x的焦点为F，过点（-1，0）的直线L与C相交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为D。证明点F在直线BD上。

Answer 1

圆c的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,得圆心为(-1,0)
圆c与直线x+y+3=0相切,得半径=|-1+3|/根号2=根号2
(x+1)^2+y^2=2

x²/a²-y²/b²=1
所以 FB斜率是-b/c
所以渐近线斜率是c/b
而渐近线斜率是±b/a
所以b/a=c/b
b²=ac
b²=c²-a²=ac
c²-ac-a²=0
c为未知数
所以c=(a±a√5)/2
双曲线e>1
所以 e=c/a=(1+√5)/2

设A(x1,y1) b(x2,y2) d(x1,-y1) l的方程为x=my-1(m不等于0)
将x=my-1 代入y²=4x 得到y²-4my+4=0;
从而y1+y2=4m y1y2=4
bd的方程为y-y2=(y1+y2)(x-x2)/(x2-x1) y-y2=4*(x-y2*y2/4)/y2-y1
令y=0 x=y1y2/4=1 所以点f(1,0)在直线bd上