Question

抛物线y=-（x-√3）²的顶点为A，与y轴相交于点B，直线y=3x+m过点A，且与y

抛物线y=-（x-√3）²的顶点为A，与y轴相交于点B，直线y=3x+m过点A，且与y轴交于点C与抛物线交于点D，连接BD
1.（1）求m的值；
（2）求点D的坐标；
（3）过点C作CE⊥BD于点E，求CE的长；
2.若有一动点P在抛物线上，有一动点Q在抛物线对称轴上，当以点P，Q，A为顶点的三角形与△BCD相似时，求Q的坐标

Answer 1

1.
(1).抛物线顶点A的坐标为(√3，0),将此坐标代入直线方程y=3x+m得0=3√3+m，
故m=-3√3；即直线方程为y=3x-3√3；令其x=0得C点的坐标为(0，-3√3);
(2).令3x-3√3=-(x-√3)²得：
3(x-√3)+(x-√3)²=(x-√3)(x-√3+3)=0，故D点的横坐标x=(√3)-3；D点的纵坐标
y=3(√3-3)-3√3=-9；即D点的坐标为(√3-3，-9);
(3).令抛物线y=-(x-√3)²中的x=0，即得B点的坐标为(0，-3）；
BD所在直线的斜率k=(-3+9)/(0-√3+3)=6/(3-√3)=6(3+√3)/6=3+√3;
故BD所在直线的方程为 y=(3+√3)x-3，写成一般式就是(3+√3)x-y-3=0
故∣CE∣=∣3√3-3∣/√[(3+√3)²+1]=(3√3-3)/(13+6√3）=(3√3-3)(13-6√3)/61
=(57√3-93)/61
2.将DB延长与对称轴相交于Q，则∆DQA～∆DBC，其中点D就是题目中规定的点P。
故令BD的方程 y=(3+√3)x-3中的x=√3,即得Q点的坐标为(√3，3√3).
【图请自己作】