Question

1×2+2×3+3×4+……+100×101=――

Answer 1

解法1：n(n+1)=n^2+n，
而1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6，1+2+3+......+n=n(n+1)÷2，
当n=100时就有：1^2+2^2+3^2+......+100^2=100×(100+1)(2×100+1)÷6=338350，1+2+3+......+100=100×(100+1)÷2=5050，
所以：1×2+2×3+3×4+……+100×101=338350+5050=343400
解法2：(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)=3(n+1)n
所以，当n=1时，3×2×1 - 2×1×0=3×2×1
当n=2时，4×3×2 - 3×2×1=3×3×2
当n=3时，5×4×3 - 4×3×2=3×4×3
............
对n就有： (n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)=3(n+1)n
以上n个式子相加就有： (n+2)(n+1)n - 2×1×0=3×[1×2+2×3+3×4+.....+n(n+1)]
即有：1×2+2×3+3×4+.....+n(n+1)= (n+2)(n+1)n ÷3，
取n=100就有：1×2+2×3+3×4+……+100×101=102×101×100÷3=343400