Question

求问高等代数的一道基础题？

如图，画框的地方。讲讲思路，我看不懂

Answer 1

题目的充分性是指对任意的向量X，都有XTAX=0，则矩阵A是反对称矩阵。
既然对任意向量都有XTAX=0，那么对特殊的向量，当然也成立。
于是取特殊向量e1,e2,…,en,代入也有
eiTAei=0
直接计算可得aii=0
即矩阵A的主对角线上的元素都为0。
同时，用向量ei+ej代入，有
(ei+ej)TA(ei+ej)=0
直接计算可得
eij+eji=0即eij=-eji
可见以主对角线对称的元素互为相反数。
故矩阵A为反对称矩阵。

追问

代入ei+ej是因为这样子才能构造出eij=-eji吗？

ei是1xi的矩阵，怎么可以与A，n x n的方阵相乘呢

追答

ei是一个n维列向量，即第i个分量为1，其余分量都为0的列向量。
ei=(0,…,1,…,0)T.。