Question

求不定积分∫x²/√(x²+1)dx？

Answer 1

令x=tant，则dx=sec^2tdt
原式=∫(tan^2t)/sect*sec^2tdt
=∫tan^2t*sectdt
=∫tantd(sect)
=tantsect-∫sectd(tant)
=tantsect-∫sect*sec^2tdt
=tantsect-∫sect(tan^2t+1)dt
=tantsect-∫tan^2t*sectdt-∫sectdt
=tantsect-ln|sect+tant|-∫tan^2t*sectdt
2∫tan^2t*sectdt=tantsect-ln|sect+tant|
原式=(tantsect-ln|sect+tant|)/2+C
=[x√(x^2+1)-ln|√(x^2+1)+x|]/2+C，其中C是任意常数

Answer 2

let
x=tanu
dx= (secu)^2 du
∫x^2/√(x^2+1)dx
=∫x d√(x^2+1)
=x.√(x^2+1) - ∫√(x^2+1) dx
=x.√(x^2+1) - ∫ (secu)^3 du
=x.√(x^2+1) - (1/2)[ secu.tanu + ln|secu+tanu| + C
=x.√(x^2+1) - (1/2)[ x.√(x^2+1) + ln|√(x^2+1)+x| + C
=(1/2) x.√(x^2+1) -(1/2)ln|√(x^2+1)+x| + C
consider

∫ (secu)^3 du
=∫ secu dtanu
=secu.tanu - ∫ secu.(tanu)^2 du
=secu.tanu - ∫ secu.[(secu)^2 -1] du
2∫ (secu)^3 du = secu.tanu + ∫ secu du
∫ (secu)^3 du
=(1/2)[ secu.tanu + ln|secu+tanu| + C'

Answer 3

显然[1+√(1+x)] *[1-√(1+x)]
=1 -1- x= -x
于是得到∫x/[1+√(1+x)]dx
=∫ -1+ √(1+x) dx
代入基本公式∫x^n dx=1/(n+1) *x^(n+1)
原积分= -x +2/3 *(1+x)^(3/2) +C，C为常数

Answer 4

∫x²√(1+x²)dx
令x=tanθ，
原式=∫tan²θsecθdtanθ
=∫tan²θsec³θdθ
=∫(sec²θ-1)sec³θdθ
=∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ
=∫sec³θdtanθ
=sec³θtanθ-∫tanθdsec³θ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ*tan²θdθ
=sec³θtanθ-3∫sec³θ(sec²θ-1)dθ
=sec³θtanθ-3∫sec^5θ+3∫sec³θdθ
∫sec^5θ=sec³θtanθ/4+3/4∫sec³θdθ
∫sec^5θdθ-∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ
∫sec³θdθ
=∫secθdtanθ
=secθtanθ-∫tanθdsecθ
=secθtanθ-∫tan²θsecθdθ
=secθtanθ-∫(sec²θ-1)secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+∫secθdθ
=secθtanθ-∫sec³θdθ+ln|secθ+tanθ|
∫sec³θdθ=(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/2
sec³θtanθ/4-1/4∫sec³θdθ=sec³θtanθ/4-(secθtanθ+ln|secθ+tanθ|)/8
secθ=√(1+x²) tanθ=x
原式=(x+x³)√(1+x²)/4-(x√(1+x²)+ln|√(1+x²)+x|)/8

Answer 5

不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。类似，@海离薇。举报计算器网页wolframalpha。数字帝国。