Question

数列求极限 数学 数学难题 数学分析 求高手

lim (n->∞) (1/2+3/2^2+...+(2n-1)/2^n)

lim (n->∞) n^k/a^n

lim (n->∞) a^n/n!

lim (n->∞) n次根号下(a) (a>0)

lim (n->∞) (log_(a) n)/n

Answer 1

(1)
lim (n->∞) (1/2+3/2^2+...+(2n-1)/2^n)
f(n)=1/2+3/2^2+...+(2n-1)/2^n不熟悉，不整齐
g(n)=1/2+1/4+...+1/2^n熟悉，整齐
2f(n+1)-g(n)=f(n)+1
2f(n+1)-f(n)=f(n)+(2n+1)/2^n
故f(n)=g(n)+1-(2n+1)/2^n
lim f(n)=lim g(n)+1-(2n+1)/2^n=2+1+0=3

(2)a?
若是a>1可解，(a<=1原式->∞)
若k<=0,
n^k/a^n=1/(a^n*n^(-k))->0
若k>0
n^k/a^n=[n/(a^(1/k))^n]^k
设a^(1/k)=1+b
n^k/a^n=[n/(1+b)^n]^k
对于n/(1+b)^n
(1+b)^n=1+nb+n(n-1)/2*b^2+...
n^k/a^n=n/(1+nb+n(n-1)/2*b^2+...)=1/(1/n+b+(n-1)/2*b^2+...)->0
lim (n->∞) n^k/a^n=0
(3)lim (n->∞) a^n/n!
取M>2|a|有限
(n->∞) |a^n/n!|={|a/1|*|a/2|*|a/3|*...*|a/M|}*{|a/(M+1)|*|a/(M+2)*...*|a/M||}
<|a|^k* (1/2)^(n-M)->
lim (n->∞) a^n/n!=0
(4)lim (n->∞) n次根号下(a) (a>0)
a=1
lim (n->∞) n次根号下(a) =1
a>1
对于任意e>0,存在N使得，对于n>N,有
1+ne>a,此处考虑这个因为(1+e)^n>1+ne
故对于任意e>0,当n足够大时
0<n次根号下(a) <1+e
故lim (n->∞) n次根号下(a) =1
a<1
lim (n->∞) n次根号下(a) =lim (n->∞) 1/[n次根号下(1/a) ]=1
故lim (n->∞) n次根号下(a) =1
(5)lim (n->∞) (log_(a) n)/n
既然是以a为底的对数
考虑a^(log_(a) n)/n= n次根号下(n)
是不是很像(4)
猜测n次根号下(n)->1 => (log_(a) n)/n->0
n次根号下(n)：
设an=n次根号下(n)=1+b
(an)^n=(1+b)^n=1+nb+n(n-1)/2 * b^2+...
(an)^n>n(n-1)/2 *(an-1)^2
(n-1)>n/2
n=(an)^n>n^2/4 *(an-1)^2
n次根号下(n)-1<2/sqrt(n)->0
故lim (log_(a) n)/n=lim log_(a) n次根号下(n)=0
楼主给加分吧！

Answer 2

后三题中,a的范围?