Question

二重积分例题5的最后一步的被积函数里面的（x＾2-y^2）怎么得来的?

Answer 1

由直角坐标变换为极坐标表示时，要在被积函数内乘一个r。所以极坐标变换为直角坐标，极坐标下的被积函数r^3 cos⁡2θf(r)变为r^2cos⁡2θf(r)；
被积函数: cos⁡2θ*r^2=r^2*(cos⁡θ*cosθ-sinθ*sinθ)

=r^2*cosθ*cosθ-r^2*sinθ*sinθ （因为极坐标变换是x=r*cosθ；y=r*sinθ；）
=x^2-y^2

追问

极坐标下的被积函数r^3 cos⁡2θf(r)变为r^2cos⁡2θf(r)；

这个乘于r了么?我看是除了一个r啊

追答

由xy变为极坐标，需要乘r；你现在需要由极坐标变为xy直角坐标，是逆过程，需要除r

Answer 2

极点在 (0, -1) 是何意思？
∫∫<D>(2y-x^2-y^2)dxdy
= ∫<0, π>dt∫<0, 2sint>(2rsint-r^2)rdr
= ∫<0, π>dt[(2/3)r^3sint - r^4/4]<0, 2sint>
= ∫<0, π>(4/3)(sint)^4dt = (1/3) ∫<0, π>(1-cos2t)^2dt
= (1/3) ∫<0, π>[1-2cos2t+(cos2t)^2]dt
= (1/3) ∫<0, π>[3/2-2cos2t+(1/2)cos4t]dt
= (1/3)[(3/2)t - sin2t + (1/8)sin4t]∫<0, π> = π/2

追问

???

你写错地方了吧