Question

如图 在矩形ABCD中,已知AB=2,AD=3,E 、F分别是AB、CD的中点。设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长。

Answer 1

你好！
原题应为：已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．
考点：菱形的判定；矩形的性质
．专题：计算题；证明题．
分析：（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD‖EF‖BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO；
（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】，求得PA=3分之5 ．
解答：（1）证明：设AG交MN于O，则
∵A、G关于BM对称，
∴AO=GO，AG⊥MN．
∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，
∴AE=BE，AE‖DF且AE=DF，
∴AD‖EF‖BC．
∴MO：ON=AO：OG=1：1．
∴MO=NO．
∴AG与MN互相平分且互相垂直．
∴四边形ANGM是菱形．

（2）连接AF，
∵AD‖EF‖BC，
∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC．
又EF⊥AB，AE=BE，
∴AF=BF，
∴∠AFE=∠EFB．
∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC．
∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC．
∴∠PFA=∠FBC=∠PAF．
∴PA=PF．
∴PA= 根号（DF的平方+PD的平方）=根号【1-（3-PA）的平方】.
∴PA=3分之5 ．
点评：本题主要考查菱形和平行四边形的识别及推理论证能力．对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
祝楼主钱途无限，事事都给力！

Answer 2

没有图 只好把过程给你写下

设∠FBC=α 则∠PFB=3α 连接EF
EF//BC 所以 ∠FBC=∠EFB=α
∠EFP=∠PFB-∠EFB=2α 又 EF//AD 所以∠EFP=∠DPF=2α
在 三角形 DPF中 tan∠DPF=DF：DP=tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
在三角形FBC中 tan∠FBC=tanα=FC:BC=1/2 所以tanα=1/2
代入上式 得
tan∠DPF=DF：DP=tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)] = (2* 1/3)/[1-(1/3)^2]=3/4
所以 DF：DP=3/4 其中DF=1/2 CD =1 DP=4/3
AP=AD-DP=3- 4/3 =5/3

这个题主要是用到了 正切的 倍角公式

Answer 3

设∠FBC=α,则tanα=2/3
tan∠PFD=tan(π-3α)=-tan3α=
AP=-2/tan3α+3/2
解出tan3α即可