Question

已知函数  有三个极值点。（I）证明：  ；（II）若存在实数

Answer 1

(1)利用导数的符号判定函数单调性，以及桉树的极值，进而证明。
(2)
当
时，
所以
且
即
故
或
反之,
当
或
时，
总可找到
使函数
在区间
上单调递减.
试题分析：解：（I）因为函数
有三个极值点,
所以
有三个互异的实根.
设
则
当
时，

在
上为增函数;
当
时，

在
上为减函数;
当
时，

在
上为增函数;
所以函数
在
时取极大值,在
时取极小值. （3分）
当
或
时,
最多只有两个不同实根.
因为
有三个不同实根,
所以
且
.
即
,且
,
解得
且
故
. （5分）
（II）由（I）的证明可知，当
时,
有三个极值点.
不妨设为
（
），则
所以
的单调递减区间是
,
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