Question

设a>0,b>0,若根号3是3的a次方与3的b次方等比中项，则1/a+1/b的最小值为多少？

Answer 1

根号3是3的a次方与3的b次方的等比中项，所以3^a*3^b=3
所以a+b=1,
1/a+1/b=(a+b)/a+(a+b)/b=2+b/a+a/b
根据基本不等式b/a+a/b大于等于2*根号b/a*a/b
2*根号b/a*a/b=2
b/a+a/b最小等于2
2+b/a+a/b最小值为4

Answer 2

根号3是3^a与3^b的等比中项

3^(a+b)
=(根号3)²
=3

a+b=1

1/a
+1/b
=(a+b)/ab
=1/ab

ab≤(a+b)²/4
=1/4

所以1/a
+1/b
=(a+b)/ab
=1/ab
≥4

所以最小值为4

Answer 3

∵√3是3的a次方与3的b次方的等比中项，所以3^a*3^b=3
也就是说a+b=1,
1/a+1/b=(a+b)/a+(a+b)/b=2+b/a+a/b
由于a>b,b>0,2+b/a+a/b>=2+2SQRT(a/b*b/a)=4,等号成立条件是a=b=1/2
所以怀疑条件为a>=b,b>0
那最小值为4，