Question

初三圆的问题。

已知AB是圆O的一条弦，且AB=2cm，点P是圆O上的一个动点，sin∠APB=1/3，请问是否存在以A、B、P为顶点且面积最大的三角形？若存在，请画出图形，并求出这个三角形的面积；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.弦AB对的弧是劣弧的情况，此时AB对的圆周角就是∠APB，P为优弧AmB上任意点，考虑△APB的面积，底是AB，高为点P到AB的距离，显然圆弧上的点到AB距离最长的点存在，就是弦AB垂直平分线（直径）交优弧AmB的点P0，因此△AP0B的面积最大.
在△AP0B中，设弦AB的中点为C，连结OA，OB，Rt△OAC中，∠AOC=1/2∠AOB=∠AP0B，因此半径R=AC/sin∠AOC=3cm，OC=2√2cm，因此△AP0B高为CP0=OC+R=3+2√2cm，面积为3+2√2cm².
2.若弦AB对的弧是优弧，此时无论P在何处，高线都不可能超过半径R的长，因此不存在更大的三角形面积.

请采纳！