Question

设数列{an}满足a1=√a（a>0），an+1=1/2(an+a/an)，证明数列{an}收敛并

Answer 1

问：设数列{an}满足a1=√a（a>0），an+1=1/2(an+a/an)，证明数列{an}收敛并求liman

答：# 1.1 证明有界 a>0，显然an>0 根据不等式a+b/2>=√a*b==> an+1=½(an+2/an)>=√an*2/an >=√2 故an>=√2，根据数列推论{an}中an>=某数，则liman >=某数 ，则{an}极限下界为>=√2。 n->无穷 # 1.2 证明单调 利用坐差法，后巷减去前项 an+1-an==> ½（an+2/an）-an==> ½an+1/an-an==> ½an-an+1/an==> -½an+1/an==> 1/an-½an==> 1/an-an/2==> 2/2an-an²/2an==> 2-an²/2an; 其中我们已知an>0并且an>=√2， 故分母不为0，有意义， 分子an>=√2，平方之后2-大于等于2的数将A）==> A=½A+1/A==> 1/A=½*A==> ½*A²=1==> A²=2 A=±√2；该值存在两个，根据极限保号性的规则我们得到： A>=√2，则 liman==A ==√2 n->无穷