Question

高次不等式穿针引线法

Answer 1

高次不等式穿针引线法：

一元高次不等式是指次数大于或等于3的不等式。这里介绍一种高效实用的解法——穿针引线。具体步骤如下：

1、移项，把不等式右边变为0且最高次项的系数为正。

2、把不等式左边分解因式，分解到不能再分为止。

3、把对应的方程的根在数轴上接从到大的顺序标出。

4、从右上方开始，遇到奇数次的根穿轴而过，遇到偶数次的根即回头。

5、按从小到大的顺序依次写出不等式的解(高中为解集，或用区间表示)。

6、位于数轴上方对应的x的范围为不等式>0的解；位于数轴下方对应的x的范围是不等式<0的解。

求解不等式之前，先介绍一下区间的概念。

例1、解不等式X(x+1)(X一2)(x^3一1)>

〔分析〕x^3一1=(X一1)(X^2+X+1)，X^2+X+1=0无实数根？

解：x(x+1)(x一2)(X一1)(X^2+X+1)<0，

<0取位于X轴下方的部分对应的X的范围。

例2、解不等式(2X^2一Ⅹ一1)(X^2一X一2)≥0

〔分析〕最高次项系数为正数，只需左边分解因式。

解：(2X+1)(X一1)(X一2)(X+1)≥0

X≤一1或一1/2≤x≤1或X≥2

例3、x^2(x^2一9)(2X^2+X一3)>0

〔分析〕不等式左边出现偶数次根，注意偶数根回头。

解X^2(x+3)(X一3)(x一1)(2x+3)>0

X<一3或一3/2<Ⅹ<0或0<X<1或X>3

例4、解不等式2X^3>X^2+15x

〔分析〕先化为左边最高次项系数为正，右边为0。

解：2x^3一X^2一15x>0

x(2x^2一X一15)>0

X(X一1)(2X+3)>0

一3/2<X<0或X>1