Question

e^(x^2-x)的关于(∞,-∞)的积分

Answer 1

问：e^(x^2-x)的关于(∞,-∞)的积分

答：首先进行变量代换，令 $t = x - \frac{1}{2}$，将 $e^{(x^2 - x)}$ 变为 $e^{(t^2 + \frac{1}{4})}$。同时，需要对 $x$ 的积分限进行调整，将其变为 $(t = \infty) - (t = -\infty)$ 的积分。 高斯积分公式为 $\int e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$，将其带入原积分式子，可以得到： $\int e^{(x^2 - x)} dx = \int e^{(t^2 + \frac{1}{4})} dx = e^{\frac{1}{4}} \int e^{t^2} dt$ 再令 $I = \int e^{t^2} dt$，利用换元法可以得到： $I^2 = \int \int e^{-x^2 - y^2} dxdy = \int \int e^{-r^2} r dr d\theta$ 这里的 $r$ 和 $\theta$ 为极坐标下的变量，将二重积分转化为两个单重积分。其中 $\int e^{-r^2} r dr$ 的解可以用导数运算法求得，即令 $y = -r^2$，从而得到 $\frac{dy}{dr} = -2r$，即 $dy = -2r dy$。 故 $\int e^{-r^2} r dr = -\frac{1}{2} \int e^y dy = -\frac{1}{2} e^{-r^2}$，带回原式可以得到： $I^2 = \int \int e^{-r^2} dr d\theta = \int [-\infty, \infty] -\frac{1}{2} e^{-r^2} dr * \int [0, 2\pi] d\theta$ 即 $I^2 = \frac{\pi}{2}$，所以 $I = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$。 最终解为：$\int e^{(x^2 - x)} dx = e^{\frac{1}{4}} \int e^{t^2} dt = e^{\frac{1}{4}} * \sqrt{\frac{\pi}{2}}$

答：**补充：** 高斯积分是一种重要的积分方法，广泛应用于众多科学工程领域。它利用极坐标下的二重积分进行变量代换，将积分化简为两个单重积分。其中一个单重积分可以利用导数运算法则求解，进而得到高斯积分公式。这种方法能解决许多初等函数无法求解的积分问题。在实际应用中，人们通常采用数值计算方法来近似求解高斯积分。