Question

设矩阵a与矩阵b相似，则a的特征值为什么？矩阵b第一行为1和负1，第二行为负一和三。

Answer 1

问：设矩阵a与矩阵b相似，则a的特征值为什么？矩阵b第一行为1和负1，第二行为负一和三。

答：亲亲，非常荣幸为您解答矩阵相似意味着存在一个可逆矩阵P，使得$a=PBP^{-1}$。由于相似矩阵具有相同的特征多项式，因此矩阵a和矩阵b有相同的特征多项式，从而它们有相同的特征值。对于矩阵b，可以计算出其特征多项式为$f(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda-2)$，因此矩阵b的特征值为2（重根）。

答：相关拓展：设矩阵$A$和$B$相似，则它们具有相同的特征多项式，因此它们的特征值相同。具体来说，如果$\det(\lambda I - A) = \det(\lambda I - B)$，其中$I$是单位矩阵，那么$A$和$B$的特征值就是使得$\det(\lambda I - A) = 0$或$\det(\lambda I - B) = 0$成立的$\lambda$值。对于矩阵$B$，可以通过计算特征多项式得到其特征值：$\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 \\ -1 & \lambda - 3 \end{vmatrix} = (\lambda - 1)(\lambda - 3) - (-1)(-1) = \lambda^2 - 4\lambda + 4 = (\lambda - 2)^2$因此，矩阵$B$只有一个特征值$\lambda = 2$，它是二重特征值。

问：设矩阵a等于，第一行为1，0，-1，第二行为0，3，0，第三行为-1，0，1。求矩阵a的特征值和特征向量。求矩阵a的二次型。求一个正交相似变换矩阵p，将a化为对角阵。试问f(x1，x2，x3)是否是正定二次型。

答：首先，我们要求出矩阵$A$的特征值和特征向量，步骤如下：1. 求解特征多项式：$$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 0 & -1 \\ 0 & 3 - \lambda & 0 \\ -1 & 0 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(3 - \lambda)(1 - \lambda) - (-1)(0)(-1) = (\lambda - 2)^2 (\lambda - 2)$$2. 解特征方程 $(A-\lambda I)x = 0$，得到特征向量：当 $\lambda=2$ 时，$$(A - 2I)x = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

答：得到另一个特征向量：$$x_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$因此，矩阵$A$的特征值为 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 2$，对应的特征向量分别为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。接下来，我们要求二次型$f(x) = x^T A x$。由于矩阵$A$是对称矩阵（即$A^T = A$），所以它所表示的二次型是正定二次型（如果这个二次型的矩阵不是对称矩阵，则需要通过正交对角化或者其他方法来判断它是否是正定二次型）。然后，我们可以得到二次型的标准形式：$$f(x) = x^T A x = 2x_1^2 + 6x_2^2 + 2x_3^2 - 4x_1x_3 = 2(x_1 - x_3)^2 + 6x_2^2 - 2$$

答：通过正交变换，我们可以将$A$对角化。设$P$为正交矩阵，则$A = PDP^T$，其中$D$是对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。对于这个矩阵$A$，我们可以构造正交矩阵$P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} & 0 \end{pmatrix}$，则有：$$P^T A P = D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$其中，矩阵$D$是$A$的对角矩阵，对角线上的元素为$A$的特征值。

答：因此，通过正交变换，我们将矩阵$A$对角化了。综上所述，矩阵$A$的特征值为 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 2$，对应的特征向量分别为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。矩阵$A$表示的二次型$f(x) = x^T A x$是正定二次型。通过正交变换，可以将矩阵$A$对角化为$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，对应的正交矩阵为$P = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} &

问：有些乱码看不懂

答：首先，求矩阵a的特征值和特征向量：特征多项式为det(a-λI)=0，展开得到λ^3-4λ=0，解得λ1=0，λ2=2，λ3=-2。当λ=0时，解出(a-0I)x=0，得到特征向量x1=[1,0,1]T。当λ=2时，解出(a-2I)x=0，得到特征向量x2=[0,1,0]T。当λ=-2时，解出(a+2I)x=0，得到特征向量x3=[1,0,-1]T。其次，求矩阵a的二次型：设向量x=[x1,x2,x3]T，则矩阵a的二次型为f(x)=xTa x。展开得到f(x)=x1^2-3x2^2+x3^2-2x1x3。接着，求一个正交相似变换矩阵p，将a化为对角阵：由于a的特征向量x1、x2、x3构成了a的特征向量组，因此可以将它们标准化得到单位正交向量组：

答：u1=[1/√2,0,1/√2]T，u2=[0,1,0]T，u3=[1/√2,0,-1/√2]T。将它们按列组成正交矩阵P=[u1,u2,u3]，则有P^-1AP=D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为a的特征值。计算得到P=[1/√2,0,1/√2;0,1,0;1/√2,0,-1/√2]，D=[0,0,0;0,2,0;0,0,-2]。最后，判断f(x1，x2，x3)是否是正定二次型：由于f(x)的矩阵a的特征值中有0，因此f(x)不是正定二次型。

答：您看一下这个

答：乱码可能是平台屏蔽了些东西

问：能再重新发一下吗，还是有问题

答：亲亲可能是平台限制噢

答：再发一遍也是这样的呢

答：您可以升级一下我给您发图片的呢