如何求两个圆的交点坐标?

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陈fai老斯
2023-08-04 · 超过42用户采纳过TA的回答
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要求两个圆的交点坐标,可以通过联立两个圆的方程并解方程组来实现。假设有两个圆的方程分别为:

圆1:(x - x1)² + (y - y1)² = r1²
圆2:(x - x2)² + (y - y2)² = r2²

其中,(x1, y1) 和 (x2, y2) 分别是圆心坐标,r1 和 r2 分别是两个圆的半径。

解方程组的步骤如下:

  • 将两个圆的方程展开并整理,使得 x 和 y 的项分别系数相等。

  • 将两个圆的方程相减,得到一个关于 x 和 y 的一元二次方程。

  • 解二元二次方程,求出 x 的值。

  • 将求得的 x 值代入其中一个圆的方程,求出对应的 y 值。

  • 得到两个圆的交点坐标 (x, y)。

  • 举例:
    假设有两个圆的方程如下:

    圆1:(x - 1)² + (y - 2)² = 4
    圆2:(x - 3)² + (y - 4)² = 9

    首先,将方程展开并整理:

    圆1:x² - 2x + y² - 4y + 5 = 0
    圆2:x² - 6x + y² - 8y + 16 = 0

    然后,将两个方程相减,得到关于 x 和 y 的一元二次方程:

    4x - 4y - 11 = 0

    解这个方程,可以得到 x = (4y + 11) / 4。

    将 x 值代入圆1的方程,得到:

    ((4y + 11) / 4 - 1)² + (y - 2)² = 4

    整理后,得到关于 y 的一元二次方程:

    17y² + 2y - 4 = 0

    解这个方程,得到两个 y 值:y ≈ -0.354 和 y ≈ 0.236。

    将这两个 y 值代入 x = (4y + 11) / 4,分别得到对应的 x 值。

    所以,两个圆的交点坐标为:
    交点1:(x ≈ 1.486, y ≈ -0.354)
    交点2:(x ≈ 2.964, y ≈ 0.236)

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