Question

求解答八下数学题一道

如图所示，已知矩形ABCD中，CE⊥BD，CF平分∠DCE与DB交于点F。
（1）.求证：BF=BC。
（2）.若AB=4，AD=3，求CF。

Answer 1

（1）.∠FCD=∠ECF

易证∠BCE=∠BDC

而∠BFC=∠BDC+∠FCD

所以∠BCF=∠BFC=∠BDC+∠FCD=∠BCE+∠ECF

所以BF=BC

（2）由勾股定理得BD=√3*3+4*4=5

等面积法求出CE=12/5，再由勾股定理求出BE=9/5

EF=3-9/5=6/5，再由勾股定理求出CF=6/5√5（5分之6倍的根号5）

Answer 2

(1)
证明:
∵ CE⊥BD ，∠DCB是直角
∴∠BDC = ∠BCE (一)
∵ CF平分∠DCE
∴∠DCF = ∠ECF （二）
因为补角等于不相邻两个内角的和，所以：
∠BFC = ∠BDC + ∠DCF （三）
将（一） 带入 （三），得：
∠BFC = ∠BCE + ∠DCF (四)
将（二）带入 （四），得：
∠BFC = ∠BCE + ∠ECF ，即：
∠BFC = ∠BCF
两底角相等，所以两边相等，即：BF=BC

(2)
从B点像CF做垂直线，假设相较于G点
∵∠ABD = arctan(0.75)
∴∠CBD =90度 - arctan(0.75)
∴∠CBG = (90度 - arctan(0.75))/2 (因为已经证明三角形CBF是等腰三角形)
∴sin((90度 - arctan(0.75))/2) = CG/3 ,即：
2CG = 6*sin((90度 - arctan(0.75))/2)
用函数表查出，并计算即好

Answer 3

(1)证明：∠BFC=∠BDC+∠DCF
∠BCF=∠BCE+∠ECF
又∠BDC=∠BCE,∠DCF=∠ECF
所以 ∠BCF=∠BFC
三角形BFC是等腰三角形，
BF=BC
(2)因为AB=4，AD=3,
所以∠DBC=53°
过B点做CF的垂线，交于点G
∠CBG=53/2=26.5°
CG=|BC|*sin26.5°=3*0.446=1.339
CE=2*CG=2.668

Answer 4

设∠DCF=∠ECF=a，则∠ECB=90-2a,∠FCB=90-a,∠EBC=90-∠ECB=2a,所以∠CFB=180-∠FCB-∠CBF=90-a,所以∠CFB=∠FCB，所以BF=BC

根据正弦定理CF/SIN∠FBC=BC/∠BFC ,所以CF=BC*sin2a/sin(90-a)=BC*2sina

而∠DBA=90-2A,tg(90-2A)=3/4，tg2a=4/3,tga=1/2，sina=0.4472

CF=2.68

Answer 5

（1）
∠BFC=∠BDC+∠DCF
∠BCF=∠BCE+∠ECF
∠DCF=∠ECF
∠BDC=∠BCE
∠BFC=∠BCf
BF=BC
（2）面积求CE
BD=5，BC=BF=3
1/2×3×4=1/2×5×CE
CE=12/5 ，BE=9/5
EF=3-9/5=6/5
CF=6/5√5