Question

已知正方形ABCD的边长为2 点M是BC的中点

,如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点（P不与M、C重合），以AB为直径作圆O，过点P作圆O的切线交AD于点F，切点为E。
（1）求四边形CDFP的周长；
（2）试探究点P由M到C的运动过程中，AF×BP的值的变化情况，并写出推理过程；
（3）延长DC、FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H（如图乙）。是否存在点 P，使△EFO∽△EHG？ 如果存在，试求此时BP的长；如果不存在，请说明理由。

没分啦啦啦啦

Answer 1

（1）四边形CDFP的周长=6，因为AF=FE，PE=PM，所以四边形周长即为AD+DC+CB=6。
（2）连接OE、OF、OP，根据三角形AOF与三角形EOF全等、三角形EOP与三角形BOP全等
可知，三角形FOP为直角三角形，OE为其斜边的高，AF×BP=EF×EP=OE的平方=1。
（3）当∠AFO=60度时，∠EFO=60度，∠DFG=60度，因为OH⊥FG，则∠EHG=60度，此时
△EFO∽△EHG，此时AF=（根号3）/3，又因为AF×BP=1，则BP=根号3