Question

高二数学

1已知a,b,c∈R+且axbxc=1
(1)求证：（1+a)(1+b)(1+c)≥8
（2）若a.b.c不全相等 求证 1/a+1/b+1/c＞√a+√b+√c
2已知a,b,c∈R+求证a2/b+b2/c+c2/a≥a+b+c
3已知实数a,b,c且a2+b2+c2=1或=1/8≤ab+bc+ca≤1

Answer 1

1.(1)a,b,c∈R+,∴1+a≥2√a,1+b≥2√b,1+c≥2√c;
∴（1+a)(1+b)(1+c)≥2√a*2√b*2√c=8
(2)1/a+1/b+1/c
=(bc+ac+ab)/abc
=bc+ac+ab
=(bc+ac)/2+(ac+ab)/2+(ab+bc)/2
>(√ab)*c+(√bc)*a>(√ac)*b(因为abc不全相等，所以不取等号)
=√c+√a+√b
2.a,b,c∈R+
a^2/b+b^2/c+c^2/a
=(a^2/b-2a+b)+(b^2/c-2b+c)+(c^2/a-2c+a)
=(a-b)^2/b+(b-c)^2/c+(c-a)^2/a
≥0
所以a^2/b+b^2/c+c^2/a≥a+b+c
3.ab+bc+ca≤1/2(a^2+b^2)+1/2(b^2+c^2)+1/2(a^2+c^2)=a^2+b^2+c^2=1
这一问左边有问题，应该是你写错了。当a=1，b=c=0时，ab+bc+ca=0
希望能够帮到你！

Answer 2

1是错的，2,3,4是对的。
1.举反例可证，令x1=pi/3,x2=5pi/6，则1不正确；
2.不等式等价于sinx2/x2<sinx1/x1，也就是要证明函数f(x)=sinx/x是减函数，即要证f'(x)<0
f'(x)=(xcosx-sinx)/x^2=(x-tanx)cosx/x^2
0<x<pi/2时，x<tanx，cosx>0，f'(x)<0
pi/2<x<pi时，x>tanx，cosx<0，f'(x)<0
综上，f'(x)<0，这就证明了2是正确的
3.可以证明对任意x1,x2，有 ｜sinx2-sinx1｜=｜2cos(x1+x2)/2sin(x2-x1)/2｜由于cos绝对值小于1，则上式<2｜sin(x2-x1)/2｜，又由于sinx<x，则上式<｜x2-x1｜
在题设范围内，绝对值符号去掉，不等式依然成立，这就证明了3是正确的。
4.这是凸函数的性质。在题设范围内，sinx是凸函数，4显然成立。

追问

……额额，复制来的……