Question

解析几何

求过某一定点的直线与过另一定点半径一定的圆的切点的轨迹
定点与半径已知

Answer 1

设椭圆上一点为（√2cosθ，sinθ）
则点(a,0)到椭圆(x^2/2)+y^2=1上的点之间的最短距离。即求
d^2=(a-√2cosθ）^2+(sinθ）^2的最小值
d^2=(a-√2cosθ）^2+(sinθ）^2
=a^2-2√2acosθ+2（cosθ）^2+(sinθ）^2
=a^2-2√2acosθ+2（cosθ）^2+1-(cosθ）^2
=（cosθ）^2-2√2acosθ+1+a^2
=（cosθ-√2a）^2+1-a^2
讨论，当a>√2/2,显然
则cosθ=1时，d^2取得最小值。
则d^2=(a^2-2√2a+2)
继续讨论,
当a>√2时，d最小值为a-√2
当√2/2<a<√2时，d最小值为√2-a

当-√2/2<a<√2/2时，显然
则cosθ=√2a时，d^2取得最小值。
则d^2=1-a^2

当a<-√2/2时，显然
则cosθ=-1时，d^2取得最小值。
则d^2=(a^2+2√2a+2)
继续讨论
当a<-√2时，d最小值为-a-√2
当-√2<a<-√2/2时，d最小值为a+√2

完毕！

Answer 2

设椭圆上一点为（√2cosθ，sinθ）
则点(a,0)到椭圆(x^2/2)+y^2=1上的点之间的最短距离。即求
d^2=(a-√2cosθ）^2+(sinθ）^2的最小值
d^2=(a-√2cosθ）^2+(sinθ）^2
=a^2-2√2acosθ+2（cosθ）^2+(sinθ）^2
=a^2-2√2acosθ+2（cosθ）^2+1-(cosθ）^2
=（cosθ）^2-2√2acosθ+1+a^2
=（cosθ-√2a）^2+1-a^2
讨论，当a>√2/2,显然
则cosθ=1时，d^2取得最小值。
则d^2=(a^2-2√2a+2)
继续讨论,
当a>√2时，d最小值为a-√2
当√2/2<a<√2时，d最小值为√2-a

当-√2/2<a<√2/2时，显然
则cosθ=√2a时，d^2取得最小值。
则d^2=1-a^2

当a<-√2/2时，显然
则cosθ=-1时，d^2取得最小值。
则d^2=(a^2+2√2a+2)
继续讨论
当a<-√2时，d最小值为-a-√2
当-√2<a<-√2/2时，d最小值为a+√2