Question

观察下列各式，1/6=1/2*3=1/2-1/3;1/12=1/3*4=1/3-1/4:1/20=1/4*5=1/4-1/5;1/30=1/5*6=1/5-1/6......

（1）试猜想用上述规律，用含字母m的等式表示出来，并证明（m表示整数）
（2）用上面的规律解方程：1/（x-2)（x-3)-1/(x-1)(x-3)+1/(x-1)(x-2)
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Answer 1

1/m*(m-1)=1/(m-1)-1/m

Answer 2

解：
(1)
规律： 1/m*(m+1) = 1/m - 1/(m+1) ; m = 1,2,3,...
证明： 右式 = 1/m - 1/(m+1) = (m+1)/m*(m=1) - m/m*(m+1) = 1/m*(m+1) = 左式；
此规律实际上说的是：如果一个分数分子是1，分母可以写成两个连续整数的乘积m与m+1，那么这个分数就可以写成1/m - 1/(m+1);
(2)
由上述规律有：
根据上述规律再结合该题；分母为相差1的两个数相乘的式子容易展开，即
1/(x-2)(x-3) = 1/(x-3) - 1/(x-2);
1/(x-1)(x-2) = 1/(x-2) - 1/(x-1);
而分母相差不是1的就需要变下型，考虑到这里分母相差2，那么我们只要在每个因式上提出一个2，那么就符合条件了，如下：
1/(x-1)(x-3) = 1/4 * 1/ (x/2-1/2)(x/2-3/2) = 1/4 * ( 1/(x/2 - 3/2) - 1/(x/2-1/2) )
= 1/2 * ( 1/(x-3) - 1/(x-1) );
那么 再将其带入原方程中化简得：