Question

设函数f(x)=1-e^(-x). (1)证明：当x>-1时，f(x)>=x/(x+1)； （2）设当x>=0时，f(x)<=x/(ax+1)，求a的范围

第一问我会，第二问答案都看不懂

Answer 1

a<=-1

Answer 2

1
f(x)=1-e^(-x)
f(x)-x/(x+1)=1-e^(-x)-[1-1/(x+1)]
=1/(x+1)-e^(-x)
0>x>-1时
1/(x+1)=lim(n→∞) [1-(-x)^n]/[1-(-x)]=1+(-x)+(-x)^2+...+(-x)^n
e^(-x)=1+(-x)+(-x)^2/2!+...(-x)^n/n!
1/(x+1)>e^(-x)
x=0时, 1/(x+1)=1=e^0
x>0时, (x+1)<e^x,(e^x=1+x+x^2/2!+...+x^n/n!)
1/(x+1) >e^(-x)
所以x>-1时f(x)≥x/(x+1)

2
x≥0
f(x)≥x/(ax+1)
f(x)-x/(ax+1)≥0
x/(ax+1)=1/a+ 1/[a(ax+1)]
f(x)-x/(ax+1)=f(x)-[1/(x+1/a)]/a
x=0时,f(x)=x/(ax+1)
x>0时,
f(ax)>ax/(ax+1)
a≥1时, ax/(ax+1)≥ x/(ax+1), ax>x,1-e^(-x)>1-e^(-ax)
a>1时,f(x)>f(ax)>x/(ax+1)
a<1时, 1-a>0,x=1/(1-a),x/(ax+1)=1, f(x)=1-e^(-x)<1,f(x)<x/(ax+1)
所以x>0时,只有a≥1时,f(x)≥x/(ax+1)