余弦定理数学题,急~~
在△ABC中,sinA=2sinBcosC,sin²A=sin²B+sin²C.判断△ABC的形状....
在△ABC中,sinA=2sinBcosC,sin²A=sin²B+sin²C.判断△ABC的形状.
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sin²A=sin²B+sin²C,a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
(a/2R)^2=(b/2R)^2+(c/2R)^2
a^2=b^2+c^2,ABC是直角三角形
sinA=2sinBcosC=-2sinBcos(A+B)=-2sinB(cosAcosB-sinAsinB)=2(sinB)^2=1
sinB=(根号2)/2,B=45°
ABC是等腰直角三角形
(a/2R)^2=(b/2R)^2+(c/2R)^2
a^2=b^2+c^2,ABC是直角三角形
sinA=2sinBcosC=-2sinBcos(A+B)=-2sinB(cosAcosB-sinAsinB)=2(sinB)^2=1
sinB=(根号2)/2,B=45°
ABC是等腰直角三角形
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因为0<A<π,所以sinA>0,由sinA=sinB+sinC,又由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=k有ka=k(b+c),a=b+c,由sinA=2sinBcosC,又由正弦定理得a=2bcosC,又由c^2=a^2+b^2-2abcosC,c^2=a^2+b^2-a(2bcosC)=a^2+b^2-a^2=b^2,所以c=b,所以△ABC是等腰三角形
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解
用^2表示²
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2
等价于a^2=b^2+c^2
可知△ABC直角三角形
A=π/2
sinA=2sinBcosC
1=2sinBcos(π/2-B)
1=2sinBsinB
sinB=1/√2
可知B=π/4
△ABC等腰直角三角形
用^2表示²
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC
(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2
等价于a^2=b^2+c^2
可知△ABC直角三角形
A=π/2
sinA=2sinBcosC
1=2sinBcos(π/2-B)
1=2sinBsinB
sinB=1/√2
可知B=π/4
△ABC等腰直角三角形
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