Question

数学题，高分悬赏！！！

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，某同学拿着含30°的透明三角板，使30°角的顶点落在P，三角板绕P旋转。
如图，当三角形的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BPE∽△CPF。

Answer 1

证明：∠B=∠C=30°①
∠BPE+∠CPF=150°,∠CPF+∠CFP=150
所以∠BPE=∠CFP②，得∠CPF=∠BEP③
①②③ 可得：△BPE∽△CPF。

Answer 2

证明：
设，角BPE=α，此时，角BEP=180-30-α=150-α,角FPC=180-30-α=150-α=角BEP.
因为角FPC=150-α,所以叫PFC=α，所以角PFC=角BEP，而角EBP=角FCP=30度
所以△BPE∽△CPF

Answer 3

考虑三点B，P，C在一条直线上，且∠EPF=30°,所以∠BPE+∠CPF=150°
考虑△CPF内角和等于180°，且∠C=30°，所以∠CPF+∠CFP=150°。
因而∠BPE=∠CFP,且∠A=∠B=30°,所以 △BPE∽△CPF。

Answer 4

证明：在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，所以∠ ABC=∠ACB=30° 又因为 ∠EDC=∠EDF+∠CDF=∠ABD+∠BED 而∠EDF=30°=∠ABD 从而∠BED=∠FDC 又因为∠ABC=∠ACB 所以△BPE∽△CPF
证毕

Answer 5

图片不显示！！

追问

看见了吗？

追答

因为AB=AC，∠BAC=120°，
所以∠B=∠C=30°，
因为∠CPF=∠B+∠BEP，（∠CPF为△BPE的外角）
而∠CPF=∠EPF+∠CPF，
所以∠B+∠BEP=∠EPF+∠CPF，
由题知：∠EPF=30°，
所以∠B=∠EPF=30°，
所以∠BEP=∠CPF，
又∠B=∠C，
所以△BPE∽△CPF。