Question

如图，已知三角形ABC中买AM是BC边上的中线，求证AM小于2分之一（AB+AC），

Answer 1

延长AM至N，使MN=AM，连结BN，
BM=CM，MN=AM，<AMC=<BMN,(对顶角相等），
△AMC≌△NMB，（SAS），
BN=AC，
在三角形ABN中，
AB+BN>AN，（两边之和大于第三边），
AB+AC>AN,
AN=2AM,
∴AM<(AB+AC)/2.

Answer 2

在三角行AMC中，因为AC为斜边，所以AM小于AC， 同理可得AM小于AB ， 将1式和2式相加 则可得2AM小于AB+AC

Answer 3

证明：延长AM至N，使MN=AM,连接BN
∵AM是BC边上的中线
∴BN=MC
在△AMC和△NMB中
｛AM=NM
｛∠AMC=∠BMN
｛MC=MB
∴△AMC≌△NMB（SAS)
∴AC=NB
在△ABN中，AB+NB＞AN
∴AB+AC＞AN
∵AM=AN
∴AN=2AM
∴AB+AC>2AM
∴AM<(AB+AC)/2

Answer 4

延长AM至D，使得MD=AM，连BD，易证BD=AC。取AB、BD中点E、F，则AM=EF，三角形BEF中，BE+BF》EF，ji AM小于2分之一（AB+AC），