Question

在1-2009这2009个数中，最多可以取出多少个数，使得这些数中任意三个数之和不能被7整除？麻烦提供详尽的方

Answer 1

我们考虑1-2009这2009个数对7的余数，按它们的余数进行分类，共7类：
0，1，2，3，4，5，6
2009=7*287，所以每类各287个。我们称为0类、樱缓1类、2类.......
就三个数来说，我们有 1+6=2+5=3+4，显然1和6、2和5、3和4类不能与0类同时取
也可以这样来表述：0，1，2，3，-3，-2，-1
这7个数，中，任取3个分类，不限数目时，总可以得到7或者7的倍数。
这样，我核逗们只能取2类的全部，然后适当增加其他类数。
因为2*3<7，所以我们取1、2类，肯定不会出来3个数的和等于7
这两类共287*2=574个，我们再看看
115，124，133，266，多加2个3，4，5，6都不行，而加2个0是可以的，所以这组数最多取576个，其中 两个0类，全部的1、2类，共576个。
这样的方案其实有很多，这只是其中之一，比如5、6类和两个0类的。
不管哪种方案最多只可以取出576个数，不改颂卖能再多了。

Answer 2

应该亮喊茄是863个
这道题从余数的角度来解。1-2009这2009个数中除以7余0、1、2、3、4、5、6、的数都是287个。要使得这些数中任意三个数渗游之和不能被7整除，这个的数比较多的有以下几种可能：
（1）余0的2个；余1的287个；余2的287个，共576个。
（2）余3的287个，余4的287个，余5的1个，余2的1个，共576个敬察。
（3）余5的287个，余6的287个，余3的287个，余0的2个，共863个。