Question

有100个自然数成一列，0、1、3、8、21、55、144、377、987...除头尾两个数外，其余每个数的3倍正好是相邻

数之和，求第100个数能否被6整除？

Answer 1

设这百个自然数分别是a1,a2,a3,...........,a99,a100.
依题意知
a1+a2+........+a99+a100=4(a2+a5+a8+...+a92+a95+a98)+a100.
说明：（a2+a5+a8+...+a92+a95+a98）一共33项
同时a1+a2+........+a99+a100=0+4(a3+a6+a9+...+a93+a96+a99)=4(a3+a6+a9+...+a93+a96+a99)
(a3+a6+a9+...+a93+a96+a99)也是33项
由上面两式知a100=4[(a3-a2)+(a6-a5)+(a9-a8)+.......+(a93-a92)+(a96-a95)+(a99-a98)]
[(a3-a2)+(a6-a5)+(a9-a8)+.......+(a93-a92)+(a96-a95)+(a99-a98)]也是33项
由关系式a100=4[(a3-a2)+(a6-a5)+(a9-a8)+.......+(a93-a92)+(a96-a95)+(a99-a98)]知
a100不能被6整除

Answer 2

这一题可以写出它的通项公式
a[n+1]=3(an)-a[n-1]
可知，如果a[n-1]是3的倍数，则a[n+1]必然是3的倍数。
反之亦然，即如果a[n-1]不是3的倍数，则a[n+1]必然不是3的倍数。
所以，它的第1，3，5，……个能被3整除，第2，4，6，……个不能被3整除
所以，第100个一定不能被6整除。

Answer 3

不可以，那个数是107168.6518*1000000000*
1000000000*1000000000*1000000000