Question

我又找大家帮忙了 有这样一道数学题（英语的）帮忙帮忙。。。谢谢。。。。我都晕了。。。

Let "n" be the largest integer for which 14n has exactly 100 digits. Counting from right to left, what is the 68th digit of "n" ？
A) 1 B) 2 C) 3 D）5 E）8

Answer 1

题意为：设n为满足“14n刚好是100位数”的最大整数。求n从右向左数第68个数是几。
注意到14n必是能被14整除的最大的100位数，而10 ≡ 3(mod 7), 10^2 ≡ 2(mod 7), 10^10 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7),
10^20 ≡ 2(mod 7), 10^100 ≡ 2^5 ≡ 4(mod 7).
所以 7 | (10^100 - 4), 而10^100 - 4又恰好为偶数，故14n = 10^100 - 4.
故 7n = 5 × 10^99 - 2.
欲求n从右往左数第68个数，即是要求n / 10^67 的个位数.
n / 10^67 = (5/7) × 10^32 - 2/(7 × 10^67).
注意到 5/7 = 0.714285714285···, 循环长度为6，循环节为714285.
而32 ≡ 2(mod 6)，故(5/7) × 10^32的个位数为1, 即循环节714285的第二个数.
又2/(7 × 10^67) < 0.1
故n / 10^67 的个位数为1.
选A.

追问

能不能说的简单一点(更适合我理解) 我的数学还没学到这么深 这是竞赛题。。。你讲的很“专业”但是我不太明白 没有学过 "mod" 可不可以说的更容易理解呢？？？谢谢了 知道你辛苦 你的答案我还是很满意的 就是有一点让我 confuse... 不好意思哈 又让你费事了。。。

追答

"mod"没什么，就是同余的意思，写起来方便点。10 ≡ 3(mod 7) 的意思就是10 除以7的余数跟3除以7的余数相等。
"≡"有许多类似于等号的性质，如 a ≡ b(mod n), 且(c, n) = 1, 则ac ≡ bc(mod n).
这是竞赛的内容啊。你把全部"mod"都转换成整除的语句就好了。

Answer 2

大致意思是：让“n”是美国历史上最大的一次整数,正好有14n 100个数位。从右至左数数字的第68届是什么“n”吗?
选A

Answer 3

A

Answer 4

翻译：让“n”是美国历史上最大的一次整数,正好有14n 100个数位。从右至左数数字的第68届是什么“n”吗?
A

Answer 5

意思是：14n是个100位整数，n为符合条件的最大整数，那么从右往左数，n的第68位是什么？

分析：n应该为 9999.....9999(100个9）除14 的商，向下取整
做下除法，发现n为： 714285714285714285.....(n应该为一个99位数）
n从右往左数第68位，也就是从左往右数第32位
n从左往右六位一循环714285，32除以6余2
所以第32位为1
即答案为A