初二下数学 可华为一元一次方程的分式方程 20
1：甲、乙两人在电脑上合打一份稿件，4h后，甲有任务，余下部分用乙单独完成又用了6小时。已知甲打6h的稿件乙要打7.5h，问甲、乙单独完成任务各需多少小时？2：甲、乙两人...
1：甲、乙两人在电脑上合打一份稿件，4h后，甲有任务，余下部分用乙单独完成又用了6小时。 已知甲打6h的稿件乙要打7.5h，问甲、乙单独完成任务各需多少小时？
2：甲、乙两人1h一共做了30个零件，一直甲做90个用的时间和乙做60个的时间相等， 问甲、乙两人每小时个做多少个零件？
3：甲、乙两地相距160km，长途车从甲地开出3h后，小轿车也从甲地开出，小轿车比长途车晚20min到达乙地， 小轿车的速度是长途车的3倍，求两车的速度。
拜托急~ 好的多给分，，， 展开
2：甲、乙两人1h一共做了30个零件，一直甲做90个用的时间和乙做60个的时间相等， 问甲、乙两人每小时个做多少个零件？
3：甲、乙两地相距160km，长途车从甲地开出3h后，小轿车也从甲地开出，小轿车比长途车晚20min到达乙地， 小轿车的速度是长途车的3倍，求两车的速度。
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1．最简公分母是指所有因式的最高次幂的 ．
2．确定最简公分母的方法和步骤：
(1)确定数字因式(系数)：若分母中的系数都为整数，则 ；若分母中的系数不都为整数；则需先利用分式的基本性质，把系数化为 ．
(2)确定含字母的因式：各分母凡出现以字母(或含字母的式子)为底的幂的因式，都是 的因式；相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数 的．
3．解一元一次方程的方法与步骤是：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ．
4．列方程(组)解应用题的步骤是： ．
重难点知识解读
知识点1 分式方程的意义
分母中含有未知数的方程叫分式方程．
从分式方程的定义中可以看出分式的两个重要特征：一是含有分母，二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数．
知识点2 可化为一元一次方程的分式方程
(1)解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，方法是方程两边都乘以分母的最简公因式，去掉分母．
(2)解可化为—元—次方程的分式方程的步骤是：
①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母。把分式方程转化为整式方程．
②解这个整式方程．
③验根：把整式方程的根代人最简公分母，使最简公分母为0的根是分式方程的增根，使最简公分母不为零的根是分式方程的根，或者代人原方程进行检验，使方程成立的根是分式方程的根，否则，是增根．
在这两种检验中，代入最简公分母较简单，但不能检验在解题过程中是否出现错误．
增根能使最简公分母为0．
知识点3 分式方程产生增根的原因
增根是使最简公分母等于零的整式方程的根．增根的产生是解分式方程的第—步“去分母”造成的．事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后．这个限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根．
知识点4 分式方程的应用
分式方程的应用主要是列方程解应用题．列分式方程和列—元—次方程解应用题的步骤一样，不同的是列出的是分式方程．因此列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题．认真分析题意，弄清题目中的数量关系，明确哪些是已知量，哪些是未知量，已知量和未知量之间有什么关系．
(2)设未知数．用字母表示未知数，并根据题目中的数量关系列出有关的代数式．
(3)列方程．利用题目中的相等关系或不变量列出符合条件的方程．
(4)解方程．
(5)检验并写出答案．检验所求得的解是否合理，是否符合题目的实际意义，不合理、不符合题意的解要舍去；最后写出答案．
课本问题解答
回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发?(P14)
解一元一次方程去分母时，方程两边都乘以分母的最小公倍数．由此，我们可以联想在解分式方程时，方程两边都乘以分母的最简公因式，就可去掉分母，将分式方程化为整式方程。
剖析经典例题
题型一 分式方程的判别
例1 下列是分式方程的是( )
分析：A是一个代数式．B、C是一元—次方程。只有D是分式方程．
解：D
题型二 可化为一元一次方程的分式方程的解法
例2 解下列分式方程：
分析：(1)题的最简公分母为x-2；两边都乘以最简公分母时．不要漏乘不含分母的项．
解：(1)方程两边同乘以(x-2)，得1+3(x-2)=x-1．
解这个整式方程，得x=2．
检验：把x=2代入最简公分母，x-2=0．
∴x=2是增根，原方程无解．
方程两边都乘以(x-2)(x-3)。
得x(x-3)-(1-x2)=2x(x-2)．
解这个整式方程．得x=1．
把x=1代入最简公分母，(x-2)(x-3)=(1-2)(1-3)≠0．
∴x=1是原方程的根．
说明：(1)分式加减运算中，分母一般不能去掉，而分式方程却能去分母转化为整式方程．
(2)解分式方程必须验根．它是解分式方程不可缺少的步骤．
(3)解分式方程中注意的问题和解一元一次方程注意的问题类似，如不能漏乘
不含分母的项，分数的括号作用，去括号等．
例3 解下列分式方程：
分析：先将方程中的各分母分解因式。并确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程来解．
解：(1)方程两边都乘以x2-4，得x2-4-4x＝x(x-2)+2(x+2)，
∴x2-4-4x=x2-2x+2x+4，解得x=-2．
经检验，x=-2是增根，∴原方程无解．
方程两边都乘以(x+3)(x-2)(x-4)，得
5x(x-4)+(2x-5)(x-2)=(7x-10)(x+3)
5x2-20x+2x2-5x-4x+l0=7x2-10x+21x-30
一40x=-40，x=1．
检验：当x=1时 ，(x+3)(x-2)(x-4)≠0.∴=1是原方程得根．
说明：(1)解分式方程的步骤与前面学过的解—元一次方程的基本步骤相同．但求得x后，要代入最简公分母去判断定不是增根。若最简公分母为零，则是增根；若最简公分母不为零．则是原方程的根．
(2)在具体求解过程中要注意分数线的括号作用．如本例中的第(2)题，方程左边第2个分式和方程右边分式去掉分母后写成2x-5(x-2)和7x-10(x+3)就错了，应写成(2x-5)(x-2)和(7x-10)(x+3)．
题型三 分式方程的应用
分析：利用方程解的定义，先将x=1代入原分式方程，得到关于a的方程，再解方程，即可求出“的值．
例5 甲、乙两个工程队合作一项工程，乙队单独做一天后，由甲、乙两队合作两天完成了全部工程．巳知甲队单独做所需的天数是乙队单独做所需天数的2/3，求甲、乙两队单独做各需多少大?
分析：设乙队独做需x天。则甲队独做需2/3x天．则甲、乙两队工作时间、工作效率、工作量之间的关系就一目了然了．
整理并解得x＝6．
答：甲队独做需4天，乙队独做需6天．
说明：在工程问题中，常用1表示工作总量，且工作总量＝工作天数×工作效率．依据这一基本关系式，找出等量关系，问题便可得到解决．
例6 甲、乙两地相距125 km，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4h，晚到1/2h．已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各是多少?
分析：设汽车和自行车的速度分别为5x km／h和2x km／h，则有下表：
解：设汽车和自行车的速度分别为5x km／h和2x km／h．
说明：熟悉了解分式方程的步骤后，检验一步可以简化书写．如上例可写作“经检验知，x＝25/3是所列方程的根”．虽然解题的书写过程写的是“经检验”，但做题时，一定要认真检验，千万不可少了这一重要环节．另外在解题时。要注意单位的统一．
拓展创新应用
题型一 拓展创新
解得x=7了．经检验知，x=7是原方程的根．
说明：对一些特殊的分式方程，要观察其特点。利用特殊方法解，要掌握本例用到的两种解题技巧：即把“分式拆成整式部分与分式部分的和”以及“分组通分法”解．另外本题也可直接利用“分组通分法”解．
(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)。
分析：在已知的分式方程中，两个分式的分子相同。分母相差一个数值，方程的右边为1，对方程是这种形式的应用题，同学们最熟悉是两人合做一项工程问题．下面仅给出一题，供参考．
甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工5个零件，他们合作6小时完成了加工任务．问甲、乙每小时各加工零件多少个?这批零件总共有几个？
题型二 实践应用
例3 某文具用品店出售每册120元和80元的两种纪念册，且两种纪念册都有30％的利润，但每册120元的纪念册相对每册80元的纪念册不太好出售。现—顾客带了1080元现金欲购买—定数量的同品种的纪念册，商店经理经过计算，根据顾客的要求(购买同品种的纪念册)和120元的纪念册滞销的实际情况，优惠销售做成了这笔买卖，且使商店的获利和卖出同数是的每册80元的纪念册所获利是—样的．
请根据以上材料。判断这位顾客共买了多少册纪念册?
答：这位顾客共买了10册每册为120元的纪念册．
例4 某市自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收取较高的定额费用1月份。张家用水量是李家用水量的2/3．张家当月水费是17.5元。李家当月水费是27.5元．超出5立方米的部分每立方米收费多少元 ？
分析：此题的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的2/3．所以，首先要表示出1月份张家的用水量和李家的用水量．而用水量可以用水费除以水的单价得出。只不过计算时要将水费分成两部分：5立方米的水费与超出5立方米部分的水费．
解这个方程，得x=2．
经检验，x＝2是所列方程的根。
答：超出5立方米部分的水，每立方米收费2元．
说明：生活中存在着大量可用分式方程解决的问题，我们要学会将实际问题转化为数学模型。并进行解答。解释解的合理性。增强自己的应用意识．
题型三 探究开放
例5 丽园开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加上完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2/3，公司需付甲工厂加工费用每天80元。需付乙工厂加工费用每天120元．
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成。也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派—名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的用餐补助费．请你帮公司选择一种既省时又有钱的加工方案。并说明理由．
分析：(1)由题意可得等量关系：甲单独完成960件所需天数=乙单独完成960件所需天数+20．(2)分别求出三种方案所付费用进行比较，选择时间和费用较少的为最佳方案．
经检验x=24是原方程的根．
(2)甲工厂单独加工完这批新产品所需的时间为960÷16—60(天)，
所需费用为80×60+5×60＝5 100(元)．
乙工厂单独加工完这批新产品所需的时间为960÷24＝40(天)。
可需费用为120×40+5×40＝5 000(元)．
设他们合作完成这批新产品所用的时间为y天。
听需费用为(80+120)×24+5×24＝4 920(元)．
∵甲、乙两家合作所用的时间和钱数都最少。
∴选择甲、乙两家工厂合作加工这批新产品比较合适．
答：略．
说明：本题是一个探索性的综合题。考查了分析、比较、决策能力。充分体现了学习数学的重要性．
聚焦中考热点
1 命题方向
分式方程重点考查用去分母法解可化为—元—次方程的分式方程，会应用增根的意义解题，列出可化为—元—次方程的分式方程解简单应用题．
解分式方程和列分式方程解应用题都是中考的重要考点之—，常以解答题形式出现．
2 热点考题举例
解：去分母．得3(70-x)＝4x，解得x=30，经检验知x=30是原方程的根．
A．1 B．0 C．-1 D．-2
解：C
解：去分母，得3＝2(x-2)-x，解得x＝7．
经检验知x＝7是原方程的根．
例4 (2003年吉林)如图21-4-1，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明到王老师家的路程为3 km，王老师到学校的路程为0．5 km．由于小明的父母战斗在抗击“非典’’第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20min．问王老师步行速度和骑自行车的速度各是多少?
解：设王老师步行速度为x km／h，则骑自行车的速度为3x km／h，
经检验知，x＝5是所列方程的根，∴3x＝15．
答：王老师步行速度和骑自行车的速度分别为5 km／h、15 km／h．
在线课本习题
练习(P16)
1．(1)x=5； (2)x＝2．
2．(1)x=1是原方程的增根，原分式方程无解．
(2)x＝2是原方程的增根，原分式方程无解．
4．x＝6．
习题21.4(P16)
2．设摩托车的速度为x千米／时，则抢修车的速度为1．5千米/时
经检验知x=40是所列方程的根，∴1.5=60．
答：略．
3．设原送货人员为x人，则销售人员有8x人．
经检验知x=14是所列方程的根，∴8x＝8×14=112．
答：略．
学科综合实践应用创新题
学科综合
解：将方程变形为
方程两边都乘以(2x-5)(x-3)(x-1)(2x-3),得
(x-1)(2x-3)= (2x-5)(x-3)
2x2-5x+3=2x2-11x+15,
6x=12
x=2
当x=2时，原分式方程的各分母都不为零．
∴原方程的根是x＝2．
说明：解本题除化“假分式”为“带分式”外，还有一项重要技能：通过移项将加法转化为减法，其原因是加法只能增项，而减法可以消项或使系数化简，所以这种情况下减法比加法好．
解：方程两边都乘以x(x+1)(x-1)，得
2＝A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)，
2＝Ax2-A+Bx2-Bx+Cx2+Cx，
2＝(A+B+C)x2+(C-B)x-A．
解之得A＝-2，B=1，C=1．
说明：本题实际上介绍了拆分分式的一种方法：待定系数法，要对较复杂的分式进行拆分，这不失是一种好办法．
答：气体的体积V2是0．5立方米．
实践应用
例3 近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标。现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两个队合作，24天可以完成，需要费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才完成，这样需要费用110万元．
(1)甲、乙两队单独完成此项工程。各需多少天?
(2)甲、乙两队完成此项工程，各需费用多少元‘；
解：(1)设甲、乙单独完成此项工程分别需x天,y天。根据题意，得
解这个方程组。得x=30，y=120．
经检验，x=30，y=120是方程组的解．
(2)设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元。根据题意，得
解这个方程组，得m=135，n=60．
答：甲单独完成此项工程需30天。乙单独完成此项工程需120天．
甲、乙单独完成此项工程分别需要费用135万元、60万元．
创新题
例4 (—题多解题)某工程，原计划由52人在—定时间内完成，后来决定自开工之日起采用新技术，工作效率提高50％，现只派40人去工作，结果比原计划提前6天完成，求采用新技术后完成这项工作所需的天数．
分析：基本等量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数．
解法1：设原来工作效率为x，则技术革新后的工作效率为x+50％x=150%x，依题意可列方程
∴原计划完成此项工作的时间是45天．
∴45-6＝39．
答：采用新技术后完成这项工程需39天．
整理得13(x+6)=15x．
解得x=39．
答：采用新技术后完成这项工作所需的天数是39天．
例5 (新情境题)一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到Bi港时，发现一救生圈在途中，掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：
(1)若小船按水流速度山A港漂流到B港需要多少小时?
(2)救生圈是何时掉入水中的？
解：(1)每小时顺流行驶的距离，等于船行距离加上顺水漂流的距离：逆流行驶的距离，等于船行距离减去由于水的迎面冲击而逆向漂流的距离．
解之，得x＝48．
经检验x=48符合题意．
故小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．
(2)设救生圈是在y点钟落下水中的，由(1)小题结果。救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的1/48.
因为小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，所以它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为(12-y)小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的1/6，救生圈沿着航行方向漂流全程的1/48，船与救生圈同向而行，距离拉大。
船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，由此得方程．
解之，得y＝11．
经检验，y=11符合题意．
故救生圈是在上午11点钟掉下水的．
说明：抓住船在顺水、逆水、静水中不同的航行速度这一关键点，认真分析等量关系的各种因素，建立方程使问题得以解答．
例6 (开放题)阅读下列材料：
已知关于x的方程：
……
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证．可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．
∴x1=c是原方程的解．
例7 阅渎下列材料：
根据上述材料。解答下列问题：
某校九年级学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查，从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元。其中食品消费支出总额每年平均增加200元．1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平。已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?
(2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm(m为正整数)，请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)；
(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现上六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？
分析：本例属于阅读理解类的应用题，要求学生在读懂阅读材料的基础上．利用阅读材料及问题中提供的有关信息解决问题．
解：(1)8000×60％＝4800(元)；
2．确定最简公分母的方法和步骤：
(1)确定数字因式(系数)：若分母中的系数都为整数，则 ；若分母中的系数不都为整数；则需先利用分式的基本性质，把系数化为 ．
(2)确定含字母的因式：各分母凡出现以字母(或含字母的式子)为底的幂的因式，都是 的因式；相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数 的．
3．解一元一次方程的方法与步骤是：(1) ，(2) ，(3) ，(4) ，(5) ．
4．列方程(组)解应用题的步骤是： ．
重难点知识解读
知识点1 分式方程的意义
分母中含有未知数的方程叫分式方程．
从分式方程的定义中可以看出分式的两个重要特征：一是含有分母，二是分母中含有未知数．因此整式方程和分式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数．
知识点2 可化为一元一次方程的分式方程
(1)解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程，方法是方程两边都乘以分母的最简公因式，去掉分母．
(2)解可化为—元—次方程的分式方程的步骤是：
①去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母。把分式方程转化为整式方程．
②解这个整式方程．
③验根：把整式方程的根代人最简公分母，使最简公分母为0的根是分式方程的增根，使最简公分母不为零的根是分式方程的根，或者代人原方程进行检验，使方程成立的根是分式方程的根，否则，是增根．
在这两种检验中，代入最简公分母较简单，但不能检验在解题过程中是否出现错误．
增根能使最简公分母为0．
知识点3 分式方程产生增根的原因
增根是使最简公分母等于零的整式方程的根．增根的产生是解分式方程的第—步“去分母”造成的．事实上，对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后．这个限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根．
知识点4 分式方程的应用
分式方程的应用主要是列方程解应用题．列分式方程和列—元—次方程解应用题的步骤一样，不同的是列出的是分式方程．因此列分式方程解应用题的一般步骤是：
(1)审题．认真分析题意，弄清题目中的数量关系，明确哪些是已知量，哪些是未知量，已知量和未知量之间有什么关系．
(2)设未知数．用字母表示未知数，并根据题目中的数量关系列出有关的代数式．
(3)列方程．利用题目中的相等关系或不变量列出符合条件的方程．
(4)解方程．
(5)检验并写出答案．检验所求得的解是否合理，是否符合题目的实际意义，不合理、不符合题意的解要舍去；最后写出答案．
课本问题解答
回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发?(P14)
解一元一次方程去分母时，方程两边都乘以分母的最小公倍数．由此，我们可以联想在解分式方程时，方程两边都乘以分母的最简公因式，就可去掉分母，将分式方程化为整式方程。
剖析经典例题
题型一 分式方程的判别
例1 下列是分式方程的是( )
分析：A是一个代数式．B、C是一元—次方程。只有D是分式方程．
解：D
题型二 可化为一元一次方程的分式方程的解法
例2 解下列分式方程：
分析：(1)题的最简公分母为x-2；两边都乘以最简公分母时．不要漏乘不含分母的项．
解：(1)方程两边同乘以(x-2)，得1+3(x-2)=x-1．
解这个整式方程，得x=2．
检验：把x=2代入最简公分母，x-2=0．
∴x=2是增根，原方程无解．
方程两边都乘以(x-2)(x-3)。
得x(x-3)-(1-x2)=2x(x-2)．
解这个整式方程．得x=1．
把x=1代入最简公分母，(x-2)(x-3)=(1-2)(1-3)≠0．
∴x=1是原方程的根．
说明：(1)分式加减运算中，分母一般不能去掉，而分式方程却能去分母转化为整式方程．
(2)解分式方程必须验根．它是解分式方程不可缺少的步骤．
(3)解分式方程中注意的问题和解一元一次方程注意的问题类似，如不能漏乘
不含分母的项，分数的括号作用，去括号等．
例3 解下列分式方程：
分析：先将方程中的各分母分解因式。并确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程来解．
解：(1)方程两边都乘以x2-4，得x2-4-4x＝x(x-2)+2(x+2)，
∴x2-4-4x=x2-2x+2x+4，解得x=-2．
经检验，x=-2是增根，∴原方程无解．
方程两边都乘以(x+3)(x-2)(x-4)，得
5x(x-4)+(2x-5)(x-2)=(7x-10)(x+3)
5x2-20x+2x2-5x-4x+l0=7x2-10x+21x-30
一40x=-40，x=1．
检验：当x=1时 ，(x+3)(x-2)(x-4)≠0.∴=1是原方程得根．
说明：(1)解分式方程的步骤与前面学过的解—元一次方程的基本步骤相同．但求得x后，要代入最简公分母去判断定不是增根。若最简公分母为零，则是增根；若最简公分母不为零．则是原方程的根．
(2)在具体求解过程中要注意分数线的括号作用．如本例中的第(2)题，方程左边第2个分式和方程右边分式去掉分母后写成2x-5(x-2)和7x-10(x+3)就错了，应写成(2x-5)(x-2)和(7x-10)(x+3)．
题型三 分式方程的应用
分析：利用方程解的定义，先将x=1代入原分式方程，得到关于a的方程，再解方程，即可求出“的值．
例5 甲、乙两个工程队合作一项工程，乙队单独做一天后，由甲、乙两队合作两天完成了全部工程．巳知甲队单独做所需的天数是乙队单独做所需天数的2/3，求甲、乙两队单独做各需多少大?
分析：设乙队独做需x天。则甲队独做需2/3x天．则甲、乙两队工作时间、工作效率、工作量之间的关系就一目了然了．
整理并解得x＝6．
答：甲队独做需4天，乙队独做需6天．
说明：在工程问题中，常用1表示工作总量，且工作总量＝工作天数×工作效率．依据这一基本关系式，找出等量关系，问题便可得到解决．
例6 甲、乙两地相距125 km，从甲地到乙地，有人乘车，有人骑自行车，自行车比汽车早出发4h，晚到1/2h．已知骑车的速度与乘车的速度之比为2：5，求自行车与汽车的速度各是多少?
分析：设汽车和自行车的速度分别为5x km／h和2x km／h，则有下表：
解：设汽车和自行车的速度分别为5x km／h和2x km／h．
说明：熟悉了解分式方程的步骤后，检验一步可以简化书写．如上例可写作“经检验知，x＝25/3是所列方程的根”．虽然解题的书写过程写的是“经检验”，但做题时，一定要认真检验，千万不可少了这一重要环节．另外在解题时。要注意单位的统一．
拓展创新应用
题型一 拓展创新
解得x=7了．经检验知，x=7是原方程的根．
说明：对一些特殊的分式方程，要观察其特点。利用特殊方法解，要掌握本例用到的两种解题技巧：即把“分式拆成整式部分与分式部分的和”以及“分组通分法”解．另外本题也可直接利用“分组通分法”解．
(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)。
分析：在已知的分式方程中，两个分式的分子相同。分母相差一个数值，方程的右边为1，对方程是这种形式的应用题，同学们最熟悉是两人合做一项工程问题．下面仅给出一题，供参考．
甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工5个零件，他们合作6小时完成了加工任务．问甲、乙每小时各加工零件多少个?这批零件总共有几个？
题型二 实践应用
例3 某文具用品店出售每册120元和80元的两种纪念册，且两种纪念册都有30％的利润，但每册120元的纪念册相对每册80元的纪念册不太好出售。现—顾客带了1080元现金欲购买—定数量的同品种的纪念册，商店经理经过计算，根据顾客的要求(购买同品种的纪念册)和120元的纪念册滞销的实际情况，优惠销售做成了这笔买卖，且使商店的获利和卖出同数是的每册80元的纪念册所获利是—样的．
请根据以上材料。判断这位顾客共买了多少册纪念册?
答：这位顾客共买了10册每册为120元的纪念册．
例4 某市自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收取较高的定额费用1月份。张家用水量是李家用水量的2/3．张家当月水费是17.5元。李家当月水费是27.5元．超出5立方米的部分每立方米收费多少元 ？
分析：此题的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的2/3．所以，首先要表示出1月份张家的用水量和李家的用水量．而用水量可以用水费除以水的单价得出。只不过计算时要将水费分成两部分：5立方米的水费与超出5立方米部分的水费．
解这个方程，得x=2．
经检验，x＝2是所列方程的根。
答：超出5立方米部分的水，每立方米收费2元．
说明：生活中存在着大量可用分式方程解决的问题，我们要学会将实际问题转化为数学模型。并进行解答。解释解的合理性。增强自己的应用意识．
题型三 探究开放
例5 丽园开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加上完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的2/3，公司需付甲工厂加工费用每天80元。需付乙工厂加工费用每天120元．
(1)甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品?
(2)公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成。也可以由两个厂家合作完成，在加工过程中，公司派—名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的用餐补助费．请你帮公司选择一种既省时又有钱的加工方案。并说明理由．
分析：(1)由题意可得等量关系：甲单独完成960件所需天数=乙单独完成960件所需天数+20．(2)分别求出三种方案所付费用进行比较，选择时间和费用较少的为最佳方案．
经检验x=24是原方程的根．
(2)甲工厂单独加工完这批新产品所需的时间为960÷16—60(天)，
所需费用为80×60+5×60＝5 100(元)．
乙工厂单独加工完这批新产品所需的时间为960÷24＝40(天)。
可需费用为120×40+5×40＝5 000(元)．
设他们合作完成这批新产品所用的时间为y天。
听需费用为(80+120)×24+5×24＝4 920(元)．
∵甲、乙两家合作所用的时间和钱数都最少。
∴选择甲、乙两家工厂合作加工这批新产品比较合适．
答：略．
说明：本题是一个探索性的综合题。考查了分析、比较、决策能力。充分体现了学习数学的重要性．
聚焦中考热点
1 命题方向
分式方程重点考查用去分母法解可化为—元—次方程的分式方程，会应用增根的意义解题，列出可化为—元—次方程的分式方程解简单应用题．
解分式方程和列分式方程解应用题都是中考的重要考点之—，常以解答题形式出现．
2 热点考题举例
解：去分母．得3(70-x)＝4x，解得x=30，经检验知x=30是原方程的根．
A．1 B．0 C．-1 D．-2
解：C
解：去分母，得3＝2(x-2)-x，解得x＝7．
经检验知x＝7是原方程的根．
例4 (2003年吉林)如图21-4-1，小明家、王老师家、学校在同一条路上．小明到王老师家的路程为3 km，王老师到学校的路程为0．5 km．由于小明的父母战斗在抗击“非典’’第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用20min．问王老师步行速度和骑自行车的速度各是多少?
解：设王老师步行速度为x km／h，则骑自行车的速度为3x km／h，
经检验知，x＝5是所列方程的根，∴3x＝15．
答：王老师步行速度和骑自行车的速度分别为5 km／h、15 km／h．
在线课本习题
练习(P16)
1．(1)x=5； (2)x＝2．
2．(1)x=1是原方程的增根，原分式方程无解．
(2)x＝2是原方程的增根，原分式方程无解．
4．x＝6．
习题21.4(P16)
2．设摩托车的速度为x千米／时，则抢修车的速度为1．5千米/时
经检验知x=40是所列方程的根，∴1.5=60．
答：略．
3．设原送货人员为x人，则销售人员有8x人．
经检验知x=14是所列方程的根，∴8x＝8×14=112．
答：略．
学科综合实践应用创新题
学科综合
解：将方程变形为
方程两边都乘以(2x-5)(x-3)(x-1)(2x-3),得
(x-1)(2x-3)= (2x-5)(x-3)
2x2-5x+3=2x2-11x+15,
6x=12
x=2
当x=2时，原分式方程的各分母都不为零．
∴原方程的根是x＝2．
说明：解本题除化“假分式”为“带分式”外，还有一项重要技能：通过移项将加法转化为减法，其原因是加法只能增项，而减法可以消项或使系数化简，所以这种情况下减法比加法好．
解：方程两边都乘以x(x+1)(x-1)，得
2＝A(x+1)(x-1)+Bx(x-1)+Cx(x+1)，
2＝Ax2-A+Bx2-Bx+Cx2+Cx，
2＝(A+B+C)x2+(C-B)x-A．
解之得A＝-2，B=1，C=1．
说明：本题实际上介绍了拆分分式的一种方法：待定系数法，要对较复杂的分式进行拆分，这不失是一种好办法．
答：气体的体积V2是0．5立方米．
实践应用
例3 近几年我省高速公路的建设有了较大的发展，有力地促进了我省的经济建设，正在修建中的某段高速公路要招标。现有甲、乙两个工程队，若甲、乙两个队合作，24天可以完成，需要费用120万元；若甲队单独做20天后，剩下的工程由乙做，还需40天才完成，这样需要费用110万元．
(1)甲、乙两队单独完成此项工程。各需多少天?
(2)甲、乙两队完成此项工程，各需费用多少元‘；
解：(1)设甲、乙单独完成此项工程分别需x天,y天。根据题意，得
解这个方程组。得x=30，y=120．
经检验，x=30，y=120是方程组的解．
(2)设单独完成此项工程，甲需费用m万元，乙需费用n万元。根据题意，得
解这个方程组，得m=135，n=60．
答：甲单独完成此项工程需30天。乙单独完成此项工程需120天．
甲、乙单独完成此项工程分别需要费用135万元、60万元．
创新题
例4 (—题多解题)某工程，原计划由52人在—定时间内完成，后来决定自开工之日起采用新技术，工作效率提高50％，现只派40人去工作，结果比原计划提前6天完成，求采用新技术后完成这项工作所需的天数．
分析：基本等量关系是：工作总量＝工作效率×工作时间×工作人数．
解法1：设原来工作效率为x，则技术革新后的工作效率为x+50％x=150%x，依题意可列方程
∴原计划完成此项工作的时间是45天．
∴45-6＝39．
答：采用新技术后完成这项工程需39天．
整理得13(x+6)=15x．
解得x=39．
答：采用新技术后完成这项工作所需的天数是39天．
例5 (新情境题)一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时．一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到Bi港时，发现一救生圈在途中，掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈．问：
(1)若小船按水流速度山A港漂流到B港需要多少小时?
(2)救生圈是何时掉入水中的？
解：(1)每小时顺流行驶的距离，等于船行距离加上顺水漂流的距离：逆流行驶的距离，等于船行距离减去由于水的迎面冲击而逆向漂流的距离．
解之，得x＝48．
经检验x=48符合题意．
故小船按水流速度由A港漂流到B港需要48小时．
(2)设救生圈是在y点钟落下水中的，由(1)小题结果。救生圈每小时顺水漂流的距离等于全程的1/48.
因为小船早晨6时从港出发，顺流航行需6小时，所以它在中午12点钟到达B港．而救生圈在y点钟就已掉下水，到这时已漂流的时间为(12-y)小时，在这段时间里，每小时船行驶全程的1/6，救生圈沿着航行方向漂流全程的1/48，船与救生圈同向而行，距离拉大。
船到B港后立刻掉头去找救生圈，1小时后找到，在这一小时内，船与救生圈相向而行，将原已拉开的距离缩短为0，由此得方程．
解之，得y＝11．
经检验，y=11符合题意．
故救生圈是在上午11点钟掉下水的．
说明：抓住船在顺水、逆水、静水中不同的航行速度这一关键点，认真分析等量关系的各种因素，建立方程使问题得以解答．
例6 (开放题)阅读下列材料：
已知关于x的方程：
……
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证．可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解．
∴x1=c是原方程的解．
例7 阅渎下列材料：
根据上述材料。解答下列问题：
某校九年级学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查，从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元。其中食品消费支出总额每年平均增加200元．1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平。已知该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?
(2)设从1997年起m年后该乡平均每户的恩格尔系数为nm(m为正整数)，请用m的代数式表示该乡平均每户当年的恩格尔系数nm，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)；
(3)按这样的发展，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活？该乡农民能否实现上六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标？
分析：本例属于阅读理解类的应用题，要求学生在读懂阅读材料的基础上．利用阅读材料及问题中提供的有关信息解决问题．
解：(1)8000×60％＝4800(元)；
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1:设甲乙工作效率分别为X、Y，甲乙分别单独完成任务的时间则为1/x和1/Y，方程式如下：
4*（X+Y）+6Y=1；6X=7.5Y。X、Y解出后代入1/x,1/Y即可。
2：设甲乙两人每小时各做X、Y个零件，方程式如下：
X+Y=30；90/x=60/y
3:设长途车和小轿车的速度分别为X、Y，方程式如下：
（160-3x）/x+1/3=160/y; y=3x
4*（X+Y）+6Y=1；6X=7.5Y。X、Y解出后代入1/x,1/Y即可。
2：设甲乙两人每小时各做X、Y个零件，方程式如下：
X+Y=30；90/x=60/y
3:设长途车和小轿车的速度分别为X、Y，方程式如下：
（160-3x）/x+1/3=160/y; y=3x
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1.甲单独完成任务需12小时，乙单独完成任务需15小时
2.甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零
3.长途车的速度是32KM每小时,小轿车的速度是96KM每小时
2.甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零
3.长途车的速度是32KM每小时,小轿车的速度是96KM每小时
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1设甲工作速率为，则乙为，(6V/7.5+V)*4+6*6*V/7.5=6V
2设甲速度为V，和速度为30，则乙速度为30-V 90/V=60/(30-V)
3设长途汽车速度为V，则小汽车速度为3V，
2设甲速度为V，和速度为30，则乙速度为30-V 90/V=60/(30-V)
3设长途汽车速度为V，则小汽车速度为3V，
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