Question

在R上可导的函数f(x)=1/3x3+1/2ax2+2bx+c当x属于 (0,1)时取得极大值 ，(1,2)时取得极小值

在R上可导的函数f(x)=1/3x3+1/2ax2+2bx+c当x属于 (0,1)时取得极大值 ，x属于(1,2)时取得极小值，求点（a，b）对应的区域的面积以及b-2/a-1的取值范围。

Answer 1

f(x)=1/3x^3+1/2ax^2+2bx+c，则
f'(x)=x^2+ax+2b，
设x^2+ax+2b=(x-x1)(x-x2)， (x1<x2)
则x1+x2=-a ， x1x2=2b，
因为函数f(x)当x属于 (0,1)时取得极大值 ，x属于(1,2)时取得极小值
所以0<x1<1， 1<x2<2，
所以1<-a<3， 0<2b<2，
-3<a<-1， 0<b<1。
S=∫f(x)dx上a下b，
-2<b-2<-1， -4<a-1<-2，
1/4<(b-2)/(a-1)<1。