Question

圆O：X^2+Y^2=4,点M(1,根号2),过点M的圆O的两条弦AC,BD互相垂直，求AB+BD的最大值

Answer 1

一个类似的题目,参考一下:
已知AC、BD为圆O:x²+y²=4的两条互相垂直的弦,垂足为M(1,根号2)则四边形ABCD的面积最大值为

想到一个不用解析法的方法来求解:
如图:
AC丄BD于M，OE丄AC于E，OF丄BD于F
AC=2√(4-OE^2)
BD=2√(4-OF^2)
四边形ABCD最大值即为AC*BD/2
而OE^2+OF^2=OM^2=(1^2+(√2)^2)=3
所以AC*BD=2√((1+OE^2)(4-OE^2))
=2√(-(OE^2-1.5)^2+6.25)<=2√6.25=5

Answer 2

为简化计算，把M(1,√2）绕O旋转至N(0，√3），
设AC:kx-y+√3=0，则
BD:x+k(y-√3）=0，
O到AC的距离d1=（√3）/√（k^2+1),
O到BD的距离d2=|k√3|/√（k^2+1),
d1^2+d2^2=3,
(d1d2)^2<=(3/2)^2,
AC=2√（4-d1^2),
BD=2√（4-d2^2),,
设w=AC+BD，
则(w/2)^2=8-（d1^2+d2^2)+2√[(4-d1^2)(4-d2^2)]
=5+2√[16-4(d1^2+d2^2)+(d1d2)^2]
<=5+2√[16-4*3+9/4]=5+5=10,
∴w/2<=√10，
w<=2√10，当d1=d2=√(3/2)时取等号，
∴AC+BD的最大值是2√10.