近世代数证明题: 满足左、右消去律的有限半群必是群,能详细给出证明过程吗？我正好在写这个作业题。谢谢
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证明:
因为G有限,设G={a1,...,an},任取a,b∈G,只需证明ax=b和xa=b有解即可.
因为半群对运算封闭,所以aa1,...,aan∈G.这n个元素必然两两不等,否则若aai=aaj(i≠j),根据消去律,ai=aj,矛盾.
所以aa1,...,aan是a1,...,an的一个排列,而b∈G,所以必存在一个ai(1≤i≤n),使得aai=b,所以ax=b有解,同理xa=b有解.
Q.E.D
因为G有限,设G={a1,...,an},任取a,b∈G,只需证明ax=b和xa=b有解即可.
因为半群对运算封闭,所以aa1,...,aan∈G.这n个元素必然两两不等,否则若aai=aaj(i≠j),根据消去律,ai=aj,矛盾.
所以aa1,...,aan是a1,...,an的一个排列,而b∈G,所以必存在一个ai(1≤i≤n),使得aai=b,所以ax=b有解,同理xa=b有解.
Q.E.D
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