Question

已知tanα=1,3sinβ=sin(2α+β), 求tanβ , tan(α+β）， tan(α/2+β/2)

请告知详细过程。不胜感激。

Answer 1

由3sinβ=sin(2α+β),得
3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,
2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,
sin(α+β)/cos(α+β)=2sinα/cosα,
tan(α+β)=2tanα=2,
tanβ=tan[(α+β)-α]=[tan(α+β)-tanα]/(1+tanαtanβ)=(2-1)/(1+2*1)=1/3,
tan(α+β)=tan2[(α+β)/2]=2tan[α+β)/2]/{1-[tanα+β)/2]^2}=2,
tan[α+β)/2]/{1-[tanα+β)/2]^2}=1
tan[α+β)/2]=1-[tan(α/2+β/2)]^2
[tan(α/2+β/2)]^2+tan(α/2+β/2)-1=0
tan(α/2+β/2)=(-1± √ 5)/2